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Álgebra Grado en Estadística

Matrices con coeficientes en un cuerpo

Este guión es una adaptación de los guiones de ALEM.

Matrices

Sean I={1,2,,m} y J={1,2,,n}. Una matriz de orden m×n sobre un cuerpo K es una aplicación

A:I×JK, (i,j)aij.

Normalmente a la matriz A la representaremos de la siguiente forma

A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),

y a veces simplemente escribiremos A=(aij), si queda claro dónde varían i y j. Diremos que A es una matriz con m filas y n columnas.

Una submatriz de A no es más que la matriz que se obtiene cuando escogemos un número de filas y columnas de A (o bien cuando eliminamos algunas filas y columnas).

Denotaremos por Mm×n(K) al conjunto de las matrices de orden m×n sobre K. El conjunto Mm×n(K) con la suma coordenada a coordenada tiene estructura de grupo, esto es, la suma es asociativa, tiene elemento neutro, toda matriz tiene inversa y es conmutativa.

(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)+(b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmn)=(a11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn).

Sea A=(aij)Mm×n(K) y B=(bjk)Mn×p(K). Entonces podemos definir el producto de A y B como AB=C=(cik)Mm×p(K) con

cik=ai1b1k+ai2b2k++ainbnk.

Una matriz de orden n×n diremos que es una matriz cuadrada de orden n. La terna (Mn×n(K),+,) es un anillo.

El elemento neutro del producto en Mn×n(K) es la matriz identidad, que es la matriz que tiene todas sus entradas cero salvo en la diagonal que tiene unos (cero es el elemento neutro de K para la suma, y uno el neutro para el producto). A dicha matriz la denotamos por In, o simplemente I cuando n queda claro en el contexto.

Una matriz AMn×n(K) es regular si tiene inversa para el producto, esto es, si existe B tal que AB=BA=In. En dicho caso, a la matriz B se le denota por A1. Si A y B tienen inversa,

(AB)1=B1A1.

Matrices con formas especiales

Una matrix A=(aij)Mn×n(K) decimos que es triangular superior si aij=0 para i>j, y decimos que es triangular inferior si aij=0 para i<j. Si la matriz es cuadrada, a los elementos aii se les conoce como elementos de la diagonal. La matriz es diagonal si aij=0 siempre que ij.

El pivote de la fila i-ésima de A, si ésta tiene alguna entrada distinta de cero, es la primera entrada no nula de dicha fila, a saber, es aij0 con j mínimo verificando esa condición.

Decimos que A está en forma normal o escalonada por filas (de forma análoga se define por columnas) si

  • todas las filas nulas (todas las entradas son ceros) están debajo de las que tienen entradas no nulas.

  • si aij y akl son los pivotes de la fila i-ésima y k-ésima, respectivamente, con i<k, entonces j<l.

Diremos que está en forma escalonada reducida por filas si además todos los pivotes son uno y son los únicos elementos no nulos de las columnas que los contienen.

Si A=(aij)Mm×n(K), la matriz traspuesta de A es

At=(a11a21an1a12a22an2a1na2namn)Mn×m(K),

esto es, la matriz que se obtiene a partir de A intercambiando filas por columnas.

Claramente, (At)t=A.

Dadas A y B dos matrices, (AB)t=BtAt (siempre que esos productos tengan sentido).

Decimos que A es simétrica si At=A, y antisimétrica si At=A.

Equivalencia por filas

Dos matrices A,BMm×n(K) se dice que son equivalentes por filas, AfB, si podemos llegar de A a B realizando una serie de transformaciones elementales por filas. Estas transformaciones son de tres tipos:

  • intercambio de filas,
  • multiplicar una fila por un elemento no nulo del cuerpo K,
  • sumarle a una fila un múltiplo de otra fila.

Resultado

Toda matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas H, AfH. Esta matriz es única.

Ejemplo Merino-Santos

Llamamos EijMn(K) a la matriz que se obtiene al intercambiar la fila i-ésima con la j-ésima en la matriz identidad. Cambiar la fila i-ésima con la j-ésima en A se corresponde con calcular EijA. Claramente, E1ij=Eij.

Sea ahora Ei(k)Mn(K) la matriz que se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la matriz identidad por kK, k0. Multiplicar la fila i-ésima de A por k es lo mismo que calcular Ei(k)A. Se tiene que Ei(k)1=Ei(1/k).

La matriz Eij(k) es la matriz que se obtiene sumando a la fila i-ésima de la identidad la fila j-ésima multiplicada por k. Así, para sumarle a la fila i-ésima de A la fila j-ésima multiplicada por k, calculamos Eij(k)×A. Tenemos además que Eij(k)1=Eij(k).

A las matrices de la forma Eij, Ei(k), k0, y Eij(k) se les llama matrices elementales.

Por tanto, si AfH, entonces existe P tal que PA=H, y además P es un producto de matrices elementales.

Podemos calcular P de la siguiente forma. Partimos de la matriz (AIm), la matriz cuyas primeras n columnas son las de A, y cuyas últimas columnas son las de Im. Si AfH y H es la forma escalonada reducida de A, entonces

(AIm)f(HP).

Nótese que P es un producto de matrices elementales, y, por tanto, tiene inversa y su inversa también es un producto de matrices elementales.

Ejemplo Merino-Santos

Si AfB, entonces tanto A como B tienen la misma forma escalonada reducida; llamémosla H. De esta forma, existen P y Q regulares tales que H=PA=QB, y por tanto A=P1QB.

Ejemplo Merino-Santos

Cálculo de inversas usando operaciones elementales

Si AMn(K) es una matriz cuadrada y H es su forma escalonada por filas, entonces PA=H con P un producto de matrices elementales.

La matriz A tiene inversa si y sólo si H es la matriz identidad, y por tanto, A es un producto de matrices elementales. Para calcular la inversa de A, podemos usar las operaciones elementales por filas que llevan de A a H=In,

(AIn)f(InA1).
Ejemplo Merino-Santos

Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz AMm×n(K), rg(A), como el número de filas no nulas de su forma escalonada reducida por filas.

Claramente, rg(A)min(m,n).

Dadas A,BMm×n(K),

rg(A+B)=rg(A+B0)rg(A+BB)=rg(AB)rg(A)+rg(B).

Si AMn(K), entonces A tiene inversa sí y sólo si su rango es n.

Matrices equivalentes

Dadas A,BMm×n(K), decimos que A y B son equivalentes, AB, si podemos llegar de A a B efectuando operaciones elementales por filas y por columnas. Por tanto, A y B son equivalentes si y sólo si existen dos matrices regulares P y Q tales que PAQ=B.

Una matriz de rango r es siempre equivalente a una matriz de la forma

(Ir000).

Por tanto, dos matrices son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango.

Además, rg(A)=rg(At).

Dadas dos matrices A y B, consideramos H y C las formas escalonadas reducidas por filas y columnas de A y de B, respectivamente. Tenemos así que existen P y Q regulares tales que PA=H y BQ=C. La matriz H tiene rg(A) filas no nulas, y C tiene rg(B) columnas no nulas. Así PABQ=HC, y por tanto AB y HC son equivalentes, por lo que rg(AB)=rg(HC). De esta forma se prueba que

rg(AB)min(rg(A),rg(B)).

Sistemas de ecuaciones y matrices

Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas sobre un cuerpo K es una expresión de la forma

{a11x1++a1nxn=b1,am1x1++amnxn=bm.

Los elementos aijK son los coeficientes del sistema, los biK son los términos independientes, y las xi son las incógnitas. Una solución es una n-upla (s1,,sn)Kn tal que x1=s1,,xn=sn verifica las igualdades del sistema.

Las m igualdades del sistema anterior se pueden expresar como una única igualdad entre matrices,

(a11a1nam1amn)(x1xn)=(b1bm),

a la que llamaremos expresión matricial del sistema. A dichas matrices se les llama matriz de coeficientes, matriz incógnita y matriz de términos independientes, respectivamente.

La matriz ampliada del sistema es

(a11a1nb1am1amnbm).

Normalmente denotaremos a esta matriz por (Ab).

Si un sistema tiene solución diremos que es compatible, y en caso contrario incompatible. Si tiene una única solución, es un sistema compatible determinado, y si tiene más de una solución decimos que es un sistema compatible indeterminado.

Dos sistemas de ecuaciones lineales sobre un cuerpo y con igual número de incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Operaciones elementales

  • Si intercambiamos de posición dos ecuaciones de un sistema, obtenemos un sistema equivalente.

  • Si multiplicamos una ecuación por un escalar no nulo, obtenemos un sistema equivalente.

  • Si a una ecuación le sumamos otra multiplicada por un escalar, también obtenemos un sistema equivalente al original.

Ejemplo Merino-Santos

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX=b la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas.

  • El sistema es compatible si y sólo si rg(A)=rg(Ab).

  • El sistema es compatible determinado si y sólo si rg(A)=rg(Ab)=n.

Ejemplo Merino-Santos

Determinantes

Dada A=(aij)Mn×n(K), definimos |A|, el determinante de A, recursivamente de la siguiente forma.

Para n=1, |(a11)|=a11 (el determinante de una matriz de orden 1×1 es su único coeficiente).

Supuesto que sabemos calcular el determinante de matrices de orden n1, dado i{1,,n},

|A|=ai1αi1++ainαin,

donde αij=(1)i+j|Aij| se conoce como el adjunto de la entrada aij, con AijM(n1)×(n1)(K) la matriz que se obtiene al eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Esta fórmula se conoce como Desarrollo de Laplace por la fila i del determinante de A, y el resultado no depende de i. Es más, también se puede desarrollar por cualquier columna. Dado j el Desarrollo de Laplace por la columna j es

|A|=a1jα1j++anjαnj.

Se puede comprobar fácilmente que

|a11a12a21a22|=a11a22a12a21. |a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13a13a22a31a23a32a11a12a21a33.

Propiedades de los determinantes

Sea AMn×n(K).

  1. |A|=|At|.
  2. Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de A se obtiene una nueva matriz cuyo determinante es |A|.
  3. Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o de una columna) de A por αK, obtenemos una matriz con determinante α|A|.
  4. Si a una fila de A le sumamos otra fila de A multiplicada por un elemento de K, entonces la nueva matriz tiene el mismo determinante que A (lo mismo ocurre si hacemos esta operación con columnas).
  5. Si f es una de las filas de A y f=f1+f2, entonces |A|=|A1|+|A2|, siendo Ai la matriz resultante de cambar la fila f en A por fi, i{1,2}.
  6. Si una de las filas de A tiene todas sus entradas nulas, entonces |A|=0.
  7. Si BMn×n(K), entonces |AB|=|A||B|.

Para calcular determinantes a veces es más eficiente usar las operaciones que hemos visto anteriormente. Así efectuando operaciones elementales por filas o columnas (intercambio o suma por un factor de otra) podemos llegar a una matriz triangular superior. El determinante de una matriz de esta forma es trivial, pues sólo se multiplican los valores de la diagonal.

Ejemplo Merino-Santos

La matriz adjunta de A es la matriz formada por los adjuntos de las entradas de A, a saber,

ˉA=(α11α12α1nα21α22α2nαm1am2αnn).

Resultado

Sea AMn×n(K). Entonces A es regular si y sólo si |A|0. En ese caso

A1=|A|1ˉAt.

Resultado

El rango A es el mayor tamaño de una submatriz cuadrada de A con determinante no nulo.

Fórmula de Cramer

Un sistema es de Cramer si su matriz de coeficientes es cuadrada y regular. Si AX=b es la expresión matricial de un sistema de Cramer, entonces el sistema es compatible determinado y su única solución es

1|A|(|M1|,,|Mn|),

donde Mi es la matriz que se obtiene a partir de A cambiando la columna i-ésima por b.

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