Geometría de la derivada

La recta tangente a una función \(f\) en un punto de la gráfica \((a,f(a))\) es \[y=f(a)+f'(a)(x-a).\] Por ejemplo, la recta tangente a la función \(f(x)=\log (x)\) en \(x=2\) es, teniendo en cuenta que \(f'(x)=1/x\), \[y=f(2)+f'(2)(x-2)=\log(2)+\frac{1}{2} (x-2).\]

En el siguiente gráfico se representa la función \(\log(x)\) y la tangente en el punto \(A=(a,\log(a))\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varía la tangente.

La recta normal en \(x=a\) es la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el punto \((a,f(a))\). Su pendiente será, por tanto, \(-1/f'(a)\). La ecuación de la recta normal a la función \(f\) en el mismo punto es \[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a).\]

Ejercicio

Responde a las siguientes preguntas sobre la parábola \(y=x^2\).

Calcula la recta tangente a la parábola \(y=x^2\) en el punto \((3,9)\).

La derivada de la función \(f(x)=x^2\) es \(f'(x)=2x\). Por tanto, la recta tangente en el punto \((3,f(3))=(3,9)\) es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=9+6(x-3)=6x-9.\]
¿Pasa dicha recta por el punto \((1,3)\)?

La recta tangente pasa por el punto \((1,3)\) si dicho punto cumple la ecuación de la recta. Veamos, \(3 \neq 6\cdot 1 -9 = -3\). El punto no pertenece a la recta tangente.
Calcula aquellos puntos que cumplen que la recta tangente a la parábola pasa por el punto \((1,-3)\).

La recta tangente en un punto arbitrario \((a,f(a))\) es \[y=f(a)+f'(a)(x-a)=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2\] y lo que queremos encontrar son aquellos valores de \(a\) que hacen que el punto \((1,-3)\) verifique está ecuación (pertenezca a la recta). Sustituimos \(x\) por \(1\) e \(y\) por \(-3\) y resolvemos:

\[\begin{aligned} -3=2a\cdot 1 -a^2 & \text{ si y solo si } a^2-2a -3=0, \\ & \text{ que equivale a } a= \frac{2\pm \sqrt{4-4\cdot(-3)}}{2}, \\ & \text{ o sea } a = \frac{2\pm 4}{2} = -1 \text{ ó } 3. \end{aligned}\]

Resumiendo, la recta tangente en los puntos \((-1,1)\) y \((3,9)\) pasa por el punto \((1,-3)\).
Calcula la recta normal a la parábola en el punto \((3,9)\).

Aplicando la ecuación de la recta normal y teniendo en cuenta que \(f'(3)=6\) nos queda: \[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)=9-\frac{1}{6}(x-3)= \frac{57-x}{6}.\]

En el siguiente gráfico se representa la función \(x^2\), y la tangente y la normal en el punto \(A=(a,a^2)\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varían las rectas tangente y normal.

Ejercicio

Calcula la ecuación de la recta (o rectas) tangentes a la gráfica de \(f(x)=4x^3-2x^2+x-1\) pararelas a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante es \(y=x\). Por tanto estamos buscando una tangente a \(f(x)\) con pendiente \(1\), es decir, buscamos \(a\) con \(f'(a)=1\).

Tenemos pues que resolver la ecuación \(f'(x)=12x^2-4x+1=1\), que equivale a \(12x^2-4x=x(12x-4)=0\). Así las soluciones son \(x=0\) y \(x=\frac{1}3\).

Sabemos que la recta tangente a \(y=f(x)\) en un punto \(a\) es \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), por tanto, las rectas tangentes que buscamos son \(y=-1+x\) e \(y=-\frac{29}{27}+x\).
Halla los valores de la constante \(\lambda\) para los que las rectas tangentes a las funciones \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=(x+\lambda)x\) en el punto \(x=1\) sean:
1. paralelas,
2. perpendiculares.

Aplicaciones de la derivada