Ejercicio
Dibuja la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y=√x, x=6, y=0 y calcula las dimensiones del rectángulo inscrito de lados paralelos a los ejes y que tenga máxima área.
En los problemas en los que hay que optimizar una cantidad, ya sea buscar un máximo o un mínimo, los pasos suelen ser los siguientes.
Planteamos analíticamente la función a optimzar utilizando tantas variables como sean necesarias.
Buscamos las relaciones entre las diferentes variables usando los datos del enunciado y dejamos todas en función de una de ellas.
Derivamos, igualamos a cero y calculamos los puntos críticos.
Comprobamos con la segunda derivada que tenemos un máximo o un mínimo relativo.
Vamos a calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio 10.
En la siguiente representación gráfica, puedes desplazar el punto rojo. El área del rectángulo correspondiente se calculará automáticamente.
Según hemos comentado, el primer paso es encontrar la función a optimizar. Si llamamos x al extremo inferior derecho del rectángulo e y a la altura, el área es 2xy.
¿Cómo podemos relacionar x e y? Hay varias formas de hacerlo: la circunferencia centrada en el origen y de radio 10 está formada por los puntos (x,y) que cumplen la ecuación x2+y2=100 con lo que despejando, y=√100−x2. Ya podemos escribir la función a optimizar: f:[0,10]→R,f(x)=2xy=2x√100−x2.
Derivamos
f′(x)=2(√100−x2−2x22√100−x2)=2(100−x2√100−x2−x2√100−x2)=2(100−2x2)√100−x2,
e igualamos a cero f′(x)=0 que equivale a 100−2x2=0. Por tanto las raíces son −10√2 y 10√2. Como la x tiene que ser positiva, llegamos a que la función tiene un punto crítico en 10√2.
Para comprobar que es un máximo, vemos que la segunda derivada es negativa: f″(x)=−6x√100−x2−2x3(100−x2)32 y f″(10/√2)=−8.
También podemos comprobar si es un máximo, estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados del punto crítico. En este caso, el signo de f′(x) queda determinado por el signo de g(x)=100−2∗x2. Evaluando g en, por ejemplo, 10√2−12 y 10√2+12, obtenemos aproximadamente 3.62 y −4.48, respectivamente. De aquí deducimos que la función f crece a la izquierda de 10√2 y decrece a su derecha. Por tanto, en 10√2 se alcanza un máximo relativo.
El área máxima es 100.
Dibuja la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y=√x, x=6, y=0 y calcula las dimensiones del rectángulo inscrito de lados paralelos a los ejes y que tenga máxima área.
Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.