Sean \(I\) un intervalo de \(\mathbb{R}\) y \(f \colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función. Se dice que es \(F\colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es una primitiva de \(f\) si \(F\) es derivable y \(F\,'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\).

\( \)

• Todas las primitivas de una función se conocen en cuanto se conoce una. De hecho, si \(F\) es una primitiva de \(f\), las funciones de la forma \(F+C\), con \(C \in \mathbb{R}\), son también primitivas de \(f\).

• Para representar una primitiva de una función usaremos la notación siguiente: \(\int f(x) \, dx\).

Si conocemos bien las derivadas de las funciones elementales, conoceremos bien la tabla de primitivas inmediatas. En el siguiente cuadro tenemos las primitivas de las funciones usuales.

La siguiente regla se aplica para calcular la integral de una función en un intervalo de la forma \([a,b]\).

Regla de Barrow: Sea \(f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) y \(F\) una primitiva de \(f\). Entonces, \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a) \ .\]

Vamos a calcular la integral de la función \(f(x)=x^2\) en el intervalo \([1,2]\).

• Calculamos una primitiva de \(f\): \[F(x)=\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.\]

• Aplicamos la Regla de Barrow: \[\int_1^2f(x) \, dx = F(2)-F(1)= \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.\]

En la siguiente gráfica se representa la función \(x^2\) y su integral entre \(1\) y \(2\). Puedes mover los límites de integración desplazando los puntos en la curva.

Propiedades de las integrales

• La integral de una suma es la suma de las integrales; es decir, \[\int_a^b (f+g)(x)\, dx = \int_a^b f(x) \, dx +\int_a^b g(x) \, dx \ .\]

• Cuando el integrando presenta un factor común constante, el resultado es el siguiente: \[\int_a^b \alpha \, f(x)\, dx = \alpha \, \int_a^b f(x) \, dx \ .\]

Cambio de variable

En determinadas integrales nos interesa hacer un cambio de variable, esto es, \(x=g(t)\), con el objetivo de que la nueva integral sea más sencilla de calcular. Utilizaremos entonces el siguiente resultado.

Si aplicamos este método a algunas de las primitivas inmediatas, obtenemos las siguientes reglas.

• \(\int g^{\prime}(x) g(x)^k\, dx = \frac{1}{n+} g(x)^{n+1}+ C\).
• \(\int g^{\prime}(x) e^{g(x)}\, dx = e^{g(x)}+C\).
• \(\int \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\, d(x)= \ln(\vert g(x)\vert) +C\).

Como ejemplo, calculemos \(\int\frac{x}{x^2+1}\, dx\). Observamos que el numerador es "casi" la derivada del denominador; intentemos sacar provecho de esto. Multiplicamos y dividimos por \(2\) y queda \[\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx.\]

Tomando \(g(x)=x^2+1\), esta integral es de la forma \(\int\frac{g'(x)}{g(x)}\, dx\), que por el cambio de variable, tomando \(f(x)=\frac{1}x\), obtenemos \[ \int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx= \frac{1}2 \ln (x^2 +1)+ C. \]

Vamos ahora a calcular \[\int \frac{e^{x}+3e^{2x}}{2+e^{x}}\, dx .\] En este caso no se ve claramente la composición en el integrando. Hacemos en este caso el cambio de variable: \(y=e^x\).

\[\begin{aligned} \int \frac{e^{x} + 3 e^{2x}}{2 + e^{x}}\, dx & = \left[ \begin{matrix} y=e^{x} \\ dy=e^{x}\, dx \ \Rightarrow \ dx= \frac{dy}{y} \end{matrix} \right] = \int \frac{y + 3y^{2}}{2 + y}\cdot \frac{1}{y}\, dy \\ & = \int \frac{1 + 3 y}{2+y}\, dy =\int \left( 3 - \frac{5}{2+y}\right)\, dy \\ & = 3 y - 5 \ln \lvert {y + 2} \lvert +C = 3e^{x} - 5 \ln \left(e^{x} +2\right) +C .\end{aligned}\]

Integración por partes

Si \(u\) y \(v\) son dos funciones, teniendo en cuenta que \((u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'\), obtenemos que \[\int u(x)v'(x)\, dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\, dx.\] Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma \[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\] El siguiente teorema especifica con un poco más de rigor las condiciones necesarias.

Ejemplo

Calculemos \( \int x\, e^{x}\, dx\). \[\int x\, e^{x}\, dx = \left[ \begin{matrix} u=x, & du=dx \\ dv=e^{x}\,dx, & v=e^{x} \end{matrix} \right] = x\,e^{x} - \int e^{x} \, dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1) .\]

Integración de funciones racionales

En este apartado vamos a estudiar el cálculo de \(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx \), donde \(P\) y \(Q\) son funciones polinómicas. Obviamente, si el grado de \( P \) es mayor o igual que el de \( Q \), podemos dividir los dos polinomios obteniendo \[\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{G(x)}{Q(x)},\] donde \(H(x)\) y \(G(x)\) son polinomios y el grado de \(G\) es menor que el grado de \(Q\). Por tanto, de aquí en adelante supondremos siempre que el grado de \(P\) es menor que el grado de \(Q\).

Estudiaremos el caso en que \(Q(x)\) admite raíces reales. En este caso el denominador tiene la forma \(Q(x)= (x-a_{1})^{r_{1}}(x-a_{2})^{r_{2}} \ldots (x-a_{n})^{r_{n}}\), y podemos descomponer la fracción \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) en fracciones simples

\[\begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} & = \frac{A_{1}}{x-a_{1}}+ \frac{A_{2}}{(x-a_{1})^{2}} + \cdots + \frac{A_{r_{1}}}{(x-a_{1})^{r_{1}}} \\ & \quad + \frac{B_{1}}{x-a_{2}}+ \frac{B_{2}}{(x-a_{2})^{2}} + \cdots + \frac{C_{r_{n}}}{(x-a_{n})^{r_n}} \, .\end{aligned}\]

Cada una de estas fracciones son de integración inmediata.

Ejemplo

Calculemos \(\int \dfrac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} \, dx\).

\[\begin{aligned} \frac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+ \frac{D}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{A(x+1)^{3}+B(x-1)(x+1)^{2}+C(x-1)(x+1) + D(x-1)}{(x-1)(x+1)^{3}} \\ & = \frac{(A+B)x^3 +(3A+B+C)x^2 + (3A-B+D)x+ A-B-C-D}{(x-1)(x+1)^{3}}.\end{aligned}\]

Igualando coeficientes nos queda el sistema \[\begin{alignedat}{5} A&& {}+B&& && && {}=0, \\ 3A&& {}+ B&& {}+C&& && {}=0, \\ 3A&& {}-B&& &&{}+D && = 0, \\ A&& {}-B&& {}-C&& {}-D && {}=1. \end{alignedat}\] que tiene como soluciones \(A =1/8\), \(B = -1/8\), \(C=-1/4\) y \(D=-1/2\). La integral queda

\[\begin{aligned} \int \frac{dx}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{1}{8}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{1}{8} \ln \vert x-1 \vert -\frac{1}{8} \ln \vert x+1 \vert + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(x+1)^{2}} . \end{aligned}\]