En este documento ilustramos cómo hacer el estudio de una función usando algún paquete de cálculo simbólico auxiliar. Para ello vamos a utilizar Thebelab con un núcleo de SageMath. Las celdas que aparecen en esta página se deben ejecutar en el orden en el que aparecen, para que las variables que se definen se puedan usar en las siguientes. La primera evaluación lleva algún tiempo, pues necesita que binder arranque el servidor correspondiente.
Estado del núcleo:
Crecimiento y decrecimiento
Si \(f\) es una función derivable definida en un intervalo, entonces
\(f\) es creciente si, y sólo si, la derivada es mayor o igual que cero;
\(f\) es decreciente si, y sólo si, la derivada es menor o igual que cero; y
\(f\) es constante si, y sólo si, la derivada es cero.
Para estudiar el crecimiento de la función \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\), estudiamos el signo de la derivada. Primero vemos dónde se anula.
\[f'(x)=6x^2-6x-12=0 \text{ sí y sólo sí } x\in\{-1,2\}.\] Como sabemos donde se anula la derivada, también sabemos donde no se anula. Esto es, la función es monótona en \(]-\infty,-1]\), en \([-1,2]\) y en \([2,+\infty[\). Evaluando la derivada en un punto de cada intervalo, terminamos:
\(f'(-3)=60>0\), y por tanto \(f\) es creciente \(]-\infty,-1]\);
\(f'(0)=-12<0\), en consecuencia \(f\) es decreciente \([-1,2]\); y,
\(f'(8)=324>0\), por lo que \(f\) es creciente \([2,+\infty[\).
sage: solve(df>0,x)
¿Sabrías decir algo sobre los máximos y mínimos relativos de esta función?
Extremos relativos
El cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función \(f\) se suele hacer en dos pasos.
En primer lugar se calculan los puntos críticos, es decir, resolvemos la ecuación \(f'(x)=0\).
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a)>0\), entonces \(f\) tiene un mínimo relativo en \(a\);
si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a)<0\), entonces \(f\) tiene un máximo relativo en \(a\).
Si analizamos el signo de la derivada segunda de la función del ejemplo anterior en los puntos críticos que habíamos obtenido, concluimos cuál es mínimo y cuál es máximo.
\(f''(-1)=-18<0\), por tanto en \(x=-1\) tenemos un máximo relativo;
\(f''(2)=18>0\), por tanto en \(x=2\) tenemos un mínimo relativo.
¿Concuerdan estas conclusiones con las que has obtenido estudiando el cambio de monotonía en torno a ambos puntos?
Concavidad y convexidad
Si \(f\) es una función dos veces derivable,
si \(f''\) es positiva, entonces \(f\) es convexa; y
si \(f''\) es negativa, entonces \(f\) es cóncava.
sage: solve(ddf>0,x)
Puntos de inflexión
Si \(f''(a)=0\) y \(f'''(a)\neq 0\), decimos que \(f\) tiene un punto de inflexión en \(a\). Esto quiere decir que en dicho punto la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés.
Seguimos con la función del ejemplo 2.
sage: solve(ddf,x)
sage: diff(ddf,x)
Como \(f''(x)=12x-6\) tenemos que \(12x-6=0\), o lo que es lo mismo, \(x=1/2\). Ya tenemos nuestro candidato a punto de inflexión. Ahora calculamos la derivada tercera: \(f'''(x)=12\), con lo que \(f'''(1/2)=12>0\). Por tanto, tenemos un punto de inflexión en \(x=1/2\). Vamos a calcular ahora si pasa de cóncava a convexa, o viceversa. Para ello, evaluamos \(f''\) en puntos a ambos lados de \(x=1/2\):
\(f''(0)=-6<0\), por lo que la función antes de \(1/2\) es cóncava.
\(f''(1)=6>0\), por lo que la función después de \(1/2\) es convexa.
Con todo esto ya tenemos una idea de cómo es la función. Dibujémosla.
sage: plot(f, (-5,5), ymax=20, ymin=-20)
Ejemplo
Vamos a aplicar todos los apartados anteriores para hacer el estudio completo de la función \(f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x\).
Crecimiento y decrecimiento
Calculamos los puntos donde se anula la derivada para averiguar el signo del resto.
\[f'(x)=3x^2+6x-9 =0,\ x\in\{-3,1\}.\] Miramos el signo de la derivada en algunos puntos intermedios: por ejemplo, \(f'(-10)>0\), \(f'(0)<0\) y \(f'(5)>0\).
sage: solve(df>0,x)
Por tanto,
\(f\) es creciente en \(]-\infty , -3]\),
\(f\) es decreciente en \([-3,1]\) y
\(f\) es creciente en \([1,+\infty[\).
Extremos relativos
Ya que sabemos los puntos críticos, evaluamos la segunda derivada:
\[f''(x)=6x+6, \quad f''(-3)=-12, \quad \text{y} \quad f''(1)=12.\] Por tanto,
\(f\) tiene un máximo relativo en \(-3\) y
\(f\) tiene un mínimo relativo en \(1\).
Convexidad y concavidad
Para estudiar la concavidad y convexidad de una función, miramos el signo de la segunda derivada:
sage: solve(ddf>0,x)
\[f''(x)=6x+6=0,\ x= -1.\] Por tanto,
\(f''(x)\) es positiva en \(]-\infty,-1]\) (función convexa)
\(f''(x)\) es negativa en \([-1,+\infty[\) (función cóncava)
Puntos de inflexión
En \(-1\) la función tiene un punto de inflexión: la segunda derivada se anula y la tercera en dicho punto es positiva o, si lo prefieres, la función cambia de de convexa a cóncava.
sage: plot(f,(-10,10), ymax=30, ymin=-20)
Ejercicio
Estudia la función \(f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=3\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}+12\,x\).
Esboza la gráfica de una función \(f\) definida en \([0,2]\) que verifique que \(f(0)=f(2)=0\), \(f'(0)=2\) y \(f'(2)=-2\).
Al darnos estos datos, nos están mostrando cómo son las tangentes a la gráfica en \(0\) y en \(2\): \(y=2x\) e \(y=-2(x-2)\), respectivamente.
Como nos dan cuatro condiciones, podemos probar con un polinomio de grado \(3\) (que tiene cuatro coeficientes). Supongamos que dicho polinomio es \(p(x)= ax^3+bx^2+cx+d\). La condición \(p(0)=0\) implica que \(d=0\), y la condición \(p'(0)=2\) lleva a \(c=2\). Por tanto, nuestro polinomio es \( p(x)=ax^3+bx^2+2x\), al que tenemos que imponer también que \(p(2)=0=8a+4b+4\) y \(p'(2)=-2=12a+4b+2\).
Resolviendo ese sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos \(a=0\), \(b=-1\). Así \(p(x)=-x^2+2x\).
Considera la función \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=\displaystyle e^{\frac{2x}{x^2+1}}\).
Calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento).
Determina lso extremos relativos de \(f\).
Esboza la gráfica de \(f\).
Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\) y representa su gráfica.
Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\) y representa su gráfica.
A partir de la gráfica de \(f(x)=\cos(x)\), dibuja la gráfica de las funciones siguientes:
\( f(x)=\cos(x+1)\),
\(f(x)=\cos(x-1)\),
\(f(x)=\cos(2x)\),
\(f(x)=\cos(x)-1\),
\(f(x)=\cos(x)+1\),
\(f(x)=\lvert\cos(x)\rvert\).
Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.