Arquímedes hizo uso de las cónicas como herramienta auxiliar en la resolución de problemas geométricos y resolución de cúbicas. En su libro sobre la esfera y el cilindro resuelve el siguiente problema.
Dada una esfera, ¿como podemos cortarla con un plano de forma que los volúmenes de los segmentos esféricos resultantes respeten una proporción dada \(\frac{a}{b}\)?El problema se reduce a determinar \(0\leq h\leq r\) (siendo \(r\) el radio de la esfera) de forma que \[\frac{a}{b}=\dfrac{V_c}{V_m}=\dfrac{V_c}{V_e-V_c}=\dfrac{\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)}{\frac{4\pi}{3}r^3-\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)}.\]
Operando, se reduce a \(\frac{4r^2}{h^2}=\frac{(3r-h)(a+b)}{ar}\), que es de la forma \(h^2(c-h)=dp^2\) (ecuación en \(h\) de grado tres), y cuyas raíces podemos encontrar mediante la intersección de la parábola \(ch^2=p^2y\) y la hipérbola \((c-h)y = cd\).