La circunferencia de Carlyle sirve para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado usando regla y compás.
Sea la ecuación \(x^2-sx+p=0\), con \(s\) y \(p\) construibles con regla y compás o bien con cónicas. Queremos conocer los valores de \(x\) que satisfacen la igualdad, en caso de que sean reales. Para ello elaboramos la siguiente construcción. Tomamos los puntos \(P=(0,1)\) y \(Q=(s,p)\). A partir de ellos construimos el punto medio entre ambos, \(M\), y trazamos la circunferencia de centro \(M\) que pasa por \(P\). Los puntos de corte de esta circunferencia con el eje X nos dan las soluciones de la ecuación.