Supongamos que el ángulo \( \theta \) viene dado por tres puntos \(A\), \(O\) y \(B\). Trazamos la circunferencia de centro \(O\) que pasa por \(A\). Por otro lado construimos la hipérbola \(H\) con directriz la recta que contiene \(OB\), foco \(A\) y excentricidad 2. La hipérbola \(H\) interseca en un punto \(E\), interior al ángulo, a la circunferencia.
Si trazamos la perpendicular a \(OB\) que pasa por \(E\) obtenemos el punto \(P\) de intersección entre ambas rectas. Además, podemos construir el punto medio del segmento \(EA\) al que llamaremos \(Q\). El ángulo \(AOQ\) mide \(\theta/3\).
En general la trisección de un ángulo no se puede construir con regla y compás. Apolonio ya mostró cómo trisecar un ángulo usando una hipérbola.