Espacio euclídeo

Espacios vectoriales euclídeos. Productos escalares. Matriz de Gram respecto de una base. Norma y ángulo. Bases ortogonales. Método de Gram-Schmidt. Subespacio ortogonal a uno dado. Coeficientes de Fourier. Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio. Teorema espectral. Diagonalización por semejanza ortogonal de matrices simétricas reales.

Ejercicio 1 En \(\mathbb{R}^4\) con el producto escalar usual se consideran los subespacios:

\[ U\equiv \left\{ \begin{aligned} x+t&=0,\\ y+z&=0,\\ x-y-z+t&=0. \end{aligned}\right. \qquad W=\mathcal{L}((1,0,0,1),(0,0,1,-1)). \]

  1. Calcula una base ortogonal de cada uno de ellos.
  2. Prueba que \(U\) y \(W\) son complementarios, pero que \(U^{\perp}\not = W\).
  3. Para el vector \(v=(1,-1,1,1)\) calcula \(p_{U}(v)\) y \(p_{U^{\perp}}(v)\).

  1. Calcular una base ortogonal.

    Para calcular una base ortogonal de \(U\) empezamos simplificando las ecuaciones cartesianas y obteniendo una base:

    \[ U\equiv \left\{ \begin{array}{rl} x+t&=0,\\ y+z&=0,\\ x-y-z+t&=0. \end{array}\right. \sim_f U\equiv \left\{ \begin{array}{rl} x+t&=0,\\ y+z&=0.\\ \end{array}\right. \]

    Podemos calcular una base usando como parámetros a \(x\) e \(y\): \(\{ (1,0,0,-1),(0,1,-1,0)\}\); además esta base resulta ser ortogonal.

    Para \(W\) ya tenemos un sistema de generadores y observamos que son linealmente independientes; pero no son ortogonales, así que utilizamos el método de Gram-Schimdt partiendo de estos vectores:

    \[ \begin{array}{l} u_1=(1,0,0,1),\\ u_2=(0,0,1,-1), \end{array}\hspace{1cm} \begin{array}{l} e_1=(1,0,0,1),\\ e_2=(0,0,1,-1)+\lambda_{2,1}(1,0,0,1). \end{array} \]

    Calculamos

    \[ \lambda_{2,1}=-\frac{\langle(0,0,1,-1),(1,0,0,1)\rangle}{\langle(1,0,0,1),(1,0,0,1)\rangle}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \]

    Así que la base ortogonal de \(W\) que obtenemos es:

    \[ \{(1,0,0,1),(1/2,0,1,-1/2)\}. \]

  2. Probar que \(U\) y \(W\) son complementarios, pero que \(U^{\perp}\not = W\).

    Son complementarios si \(U+W=\mathbb{R}^4\) y \(U\cap W=\{ 0 \}\). Calculamos \(U+W\) reuniendo bases:

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

    Comprobemos el resultado obtenido con sage.

    y obtenemos que \(U+W=\mathbb{R}^4\) puesto que obtenemos la base canónica. Ahora usando la fórmula de las dimensiones

    \[ \operatorname{dim}(U) + \operatorname{dim}(W) = \operatorname{dim}(U+W)+ \operatorname{dim}(U\cap W) \]

    obtenemos que \(\operatorname{dim}(U\cap W)=0\) y por tanto \(U\cap W=\{ 0 \}\). Sin embargo, como \(\langle (1,0,0,-1),(0,0,1,-1)\rangle =1\) y \((1,0,0,-1)\in U\) y \((0,0,1,-1)\in W\), entonces \(W\not = U^{\perp}\).

  3. Calcular \(p_{U}(v)\) y \(p_{U^{\perp}}(v)\).

    De la base de \(U\) obtenemos las cartesianas de \(U^{\perp}\) que son:

    \[ U^{\perp}\equiv \left\{ \begin{array}{rl} x-t&=0,\\ y-z&=0.\\ \end{array}\right. \]

    Escribimos ahora \(v=p_{U}(v)+p_{U^{\perp}}\) usando 4 incógnitas

    \[ (1,-1,1,1)=(\alpha, \beta, \gamma, \delta)+ (1-\alpha, -1-\beta,1-\gamma, 1-\delta) \]

    e imponemos las condiciones de que el primero cumpla las cartesianas de \(U\) y el segundo las de \(U^{\perp}\) y resolvemos:

    \[ \begin{array}{r} \alpha +\delta = 0,\\ -\alpha + \delta = 0,\\ \beta + \gamma = 0,\\ -1-\beta -1+ \gamma = 0, \end{array} \]

    y resulta \(\alpha= 0, \beta=-1, \gamma = 1, \delta= 0\), así que:

    \[ p_U(1,-1,1,1)=(0,-1,1,0); \, \, p_{U^{\perp}}(1,-1,1,1)=(1,0,0,1). \]

Ejercicio 2 En \(\mathbb{R}^{3}\), dado el subespacio \(U\equiv \left\{ \begin{array}{l} x+y=0,\\ x+z=0. \end{array}\right.\) y considerando el producto escalar usual, calcula \(p_{U^{\perp}}(0,1,2)\).

Una base de \(U\) es \(\{(1,-1,-1)\}\) y por tanto \(U^{\perp}\equiv x-y-z=0\), descomponemos

\[ (0,1,2)=(a,b,c)+(-a,1-b,2-c), \]

e imponemos al primer vector que esté en \(U\) y al segundo que esté en \(W\):

\[ \left\{ \begin{array}{l} a+b=0,\\ a+c=0,\\ -a-1+b-2+c=0. \end{array}\right. \sim_f \left\{ \begin{array}{l} b=-a,\\ c=-a,\\ -3a-3=0. \end{array}\right. \sim_f \left\{ \begin{array}{l} a=-1,\\ b=1,\\ c=1. \end{array}\right. \]

Así \(p_{U^{\perp}}(0,1,2)=(1,0,1)\).

Ejercicio 3 Consideramos en \(\mathbb{R}^{2}\) el producto escalar que tiene, respecto de la base canónica, matriz de Gram (o matriz métrica) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calcula una base de \(\mathbb{R}^{2}\) respecto de la cual la matriz de Gram de este producto escalar sea \(I_2\).

Que la matriz de Gram sea la identidad significa que la base es ortonormal. En primer lugar, aplicamos Gram-Schmidt para calcular una base ortogonal. Partimos por ejemplo de la base canónica:

\[ u_1=(1,0), u_2=(0,1). \]

Entonces \(e_1=(1,0)\) y \(e_2=(0,1)+\lambda_{21}(1,0)\) donde

\[ \lambda_{21}=-\frac{\langle u_2,e_1\rangle }{\langle e_1,e_1\rangle }=-\frac{1}{1}=-1, \]

donde los datos se han recogido de la matriz de Gram respecto de \(B_c\). Por tanto una base ortogonal es \(\{(1,0),(-1,1)\}\), el primero tiene norma 1, calculamos la del segundo:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=1. \]

Así que esta base es ortonormal.

Ejercicio 4 En el espacio vectorial \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\) de los polinomios de grado menor o igual que tres se considera el subespacio \(U\) generado por \(x\) y \(x^3\) y el producto escalar dado por:

\[ \langle p(x),q(x)\rangle = \int_{-1}^1 p(x)\cdot q(x) dx. \]

  1. Determinar una base ortogonal de \(U\).
  2. Determinar una base de su complementario, \(U^{\perp}\).
  3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \(1+x\).

  1. Determinar una base ortogonal de \(U\).

    Como \(\{ x, x^3\}\) es base, y \(\langle x,x^3 \rangle =\int_{-1}^1 x^4dx= \left. x^5\right]_{-1}^1=2/5\) por lo que no es ortogonal. Usamos el algoritmo de Gram-Schmidt para calcular una:

    \[ \begin{array}{lr} e_1=x, & \\ e_2=x^3+\lambda_{21}x,& \lambda_{21}= \frac{- \langle x,x^3\rangle}{\langle x,x\rangle}. \end{array} \]

    Calculamos \(\langle x,x\rangle =\int_{-1}^1 x^2dx= \left. x^3\right]_{-1}^1=2/3\) luego una base ortogonal de \(U\) es \(\{x,x^3-3/5x\}\).

  2. Determinar una base de su complementario, \(U^{\perp}\).

    Podemos observar que \(\langle 1,x\rangle =\langle 1,x^3\rangle =0\) y \(\langle x^2,x\rangle =\langle x^2,x^3\rangle =0\) por lo que \(\{1,x^2\}\) es una base de \(U^{\perp}\), ya que este subespacio debe tener dimensión dos.

  3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \(1+x\).

    Puesto que tenemos bases sencillas de \(U\) y de \(U^{\perp}\) podemos expresar el polinomio dado como combinación lineal de todos ellos:

    \[ 1+x=\alpha_1\cdot x + \alpha_2\cdot x^3 + \alpha_3\cdot 1 +\alpha_4\cdot x^2 \]

    donde los dos primeros sumandos nos dan la proyección sobre \(U\) y los dos últimos la proyección sobre \(U^{\perp}\). Es inmediato que \(\alpha_1=1\), \(\alpha_2=0\), \(\alpha_3=1\) y \(\alpha_4=0\). Por tanto

    \[ p_U (1+x)=x. \]

Ejercicio 5 En \(\mathbb{R}^{3}\) se consideran el producto escalar cuya matriz de Gram respecto de la base canónica es

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

y los subespacios \(U=L((1,1,2),(2,1,1))\) y \(W=L((1,a,1))\), siendo \(a\) un parámetro.

  1. Determinar bases de \(U+W\) y \(U \cap W\) en función de \(a\).
  2. Calcular el complemento ortogonal de \(U\).
  3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \((5,-3,4)\).

  1. Determinar bases de \(U+W\) y \(U \cap W\) en función de \(a\).

    Los sistemas de generadores dados de \(U\) y \(W\) son bases, así que \(\operatorname{dim}(U)=2\) y \(\operatorname{dim}(W)=1\) para todos los valores de \(a\). Un sistema de generadores de \(U+W\) se obtiene al reuinir bases de ambos, comprobaremos para qué valores de \(a\) son linealmente independientes:

    \[ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & a\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & a-1\\ 2 & -3 & -1 \end{array}\right|=1+3(a-1)=3a-2. \]

    Si \(a=2/3\) la dimensión de \(U+W\) es dos y por tanto \(U+W=U\), o lo que es lo mismo, \(W\subset U\), así que una base es, por ejemplo, \(\{ (1,1,2),(2,1,1)\}\), o también su base más sencilla que es \(\{(1,0,-1),(0,1,3)\}\). Por tanto \(U\cap W=W\) y una base es \(\{(1,a,1)\}\).

    Si \(a\not = 2/3\) entonces \(\operatorname{dim}(U+W)=3\) y por tanto \(U+W=\mathbb{R}^{3}\) y una base es la canónica. Por la fórmula de las dimensiones \(\operatorname{dim}(U\cap W) + \operatorname{dim}(U+W)= d\operatorname{dim}(U) + \operatorname{dim}(W)\) y por tanto \(U\cap W=\{0\}\) que no tiene base.

  2. Calcular el complemento ortogonal de \(U\).

    Por cada vector de la base de \(U\) obtenemos una cartesiana de \(U^{\perp}\) imponiendo que el producto escalar sea cero (usamos la base más sencilla, aunque sirve cualquier otra):

    \[ (1,0,-1)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=0, \, \, \text{obteniendo } \, x+y-z=0; \]

    \[ (0,1,3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=0, \, \, \text{obteniendo } \, x+2y+3z=0. \]

    Así que

    \[ U^{\perp}\equiv \left\{\begin{array}{r} x+y-z=0,\\ x+2y+3z=0. \end{array}\right. \sim \left\{\begin{array}{r} x-5z=0,\\ y+4z=0. \end{array}\right. \]

    Y una base es \(\{ (5,-4,1)\}\).

  3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \((5,-3,4)\).

    Como sabemos una base (ortogonal, puesto que tiene un solo vector) de \(U^{\perp}\) calculamos

    \[ p_{U^{\perp}}(5,-3,4)=\frac{\langle(5,-3,4)(5,-4,1)\rangle}{\langle(5,-4,1)(5,-4,1)\rangle}(5,-4,1)= \frac{18}{18}(5,-4,1)=(5,-4,1). \]

    Luego

    \[ p_U(5,-3,4)=(5,-3,4)-p_{U^{\perp}}(5,-3,4)=(5,-3,4)-(5,-4,1)=(0,1,3). \]

Ejercicio 6 En \(\mathbb{R}^3\) consideramos el producto escalar que, respecto de la base canónica, tiene matriz de Gram

\[ G= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right). \]

  1. Calcula una base ortogonal de este espacio vectorial.

  2. Calcula \(U^{\perp}\) para el subespacio

    \[ U\equiv \left\{ \begin{array}{r} x+y+z=0,\\ x-z=0. \end{array}\right. \]

  3. Calcula \(p_U(1,1,1)\) y \(p_{U^{\perp}}(1,1,1)\).

  1. Calcular una base ortogonal de este espacio vectorial.

    Partimos de la base canónica de \(\mathbb{R}^{3}\) y aplicamos Gram-Schmidt: \(\{u_1=(1,0,0), u_2=(0,1,0), u_3=(0,0,1)\}\),

    \[ e_1=u_1=(1,0,0), \]

    \(e_2=u_2+\lambda_{21}e_1,\) necesitamos calcular

    \[ \lambda_{21}=\frac{-\langle u_2,e_1\rangle}{\langle e_1,e_1\rangle}=\frac{-1}{1}=-1, \]

    puesto que tanto numerador como denominador aparecen en la matriz de Gram. Así

    \[ e_2=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0), \]

    ahora \(e_3=u_3+\lambda_{31}e_1+\lambda_{32}e_2\), y de nuevo numerador y denominador de \(\lambda_{31}\) aparecen en la matriz de Gram:

    \[ \lambda_{31}=\frac{-\langle u_3,e_1\rangle}{\langle e_1,e_1\rangle}=\frac{-1}{1}=-1, \]

    pero los de \(\lambda_{32}\) deben ser calculados:

    \[ \langle u_3,e_2\rangle(0\, 0\, 1)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1\\ 0 \end{array}\right)=-1, \]

    \[ \langle e_2,e_2\rangle(-1\, 1\, 0)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1\\ 0 \end{array}\right)=2, \]

    luego \(\lambda_{32}=1/2\) y por tanto

    \[ e_3=(0,0,1)-(1,0,0)+1/2(-1,1,0)=(-3/2,1/2,1). \]

    Luego una base ortogonal es

    \[ \{(1,0,0),(-1,1,0),(-3/2,1/2,1)\}. \]

  2. Calcular \(U^{\perp}\).

    Calculamos en primer lugar una base de \(U\), como \(\operatorname{dim}(U)=3- \text{nº cartesianas}=1\) basta encontrar un vector que cumpla las cartesianas: \(\{u=(1,-2,1)\}\). Ahora imponemos la condición \(\langle(1,-2,1),(x,y,z)\rangle=0\) que nos da la ecuación cartesiana de \(U^{\perp}\):

    \[ (1\, -2\,\, 1)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} x \\ y\\ z \end{array}\right)=-5y+3z=0. \]

  3. Calcula \(p_U(1,1,1)\) y \(p_{U^{\perp}}(1,1,1)\).

    Podemos usar la base ortogonal de \(U\): \(\{(1,-2,1)\}\) (que lo es por tener un solo vector) y la fórmula de los coeficientes de Fourier:

    \[ p_U(1,1,1)=\frac{\langle(1,1,1),(1,-2,1)\rangle}{\langle(1,-2,1),(1,-2,1)\rangle}(1,-2,1). \]

    Calculamos los dos productos escalares y obtenemos

    \[ (1\, -2\,\, 1)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r|r} 1 & 1\\ 1 & -2\\ 1 & 1 \end{array}\right)=(-2|13), \]

    \[ p_U(1,1,1)=\frac{-2}{13}(1,-2,1)=(-2/13, 4/13, -2/13), \]

    \[ p_{U^{\perp}}(1,1,1)=(1,1,1)-(-2/13, 4/13, -2/13)=(15/13, 9/13, 15/13). \]

Ejercicio 7 En \(\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\) consideramos el producto escalar dado por

\[ \langle p(x),q(x)\rangle=\int_0^1 p(x)q(x)dx. \]

  1. Calcula la matriz de Gram respecto de la base \(\{1, 1-x, x^2\}\).
  2. Calcula una base de \(U=\{p(x)\in \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) \text{ tal que } p(1)=p'(1)=0\}\).
  3. Calcula las ecuaciones cartesianas del subespacio \(U^{\perp}\).
  4. Calcula \(p_U(1-2x^2)\) y \(p_{U^{\perp}}(1-2x^2)\).

  1. Calcular la matriz de Gram respecto de la base \(\{1, 1-x, x^2\}\).

    $$ ,1=_0^1 11dx=. x ]_0^1=1,

    $$

    \[ \langle 1,1-x\rangle=\int_0^1 1\cdot (1-x)dx=x-\left. \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1=\dfrac{1}{2}, \]

    \[ \langle 1,x^2\rangle=\int_0^1 1\cdot x^2dx=\left. \dfrac{1}{3}x^3\right]_0^1=\dfrac{1}{3}, \]

    \[ \langle 1-x,1-x\rangle=\int_0^1 (1-x)^2dx=\left. \dfrac{1}{3}(x-1)^3\right]_0^1=\dfrac{1}{3}, \]

    \[ \langle 1-x,x^2\rangle=\int_0^1 (x^2-x^3)dx=\dfrac{1}{3}x^3-\left. \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1=\dfrac{1}{12}, \]

    \[ \langle x^2,x^2\rangle=\int_0^1 x^4dx=\left. \dfrac{1}{5}x^5\right]_0^1=\dfrac{1}{5}, \]

    \[ G_B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{12} & \frac{1}{5}\\ \end{array}\right). \]

  2. Calcular una base de \(U\).

    \[ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2=(a_0,a_1,a_2)_{B_S} \Rightarrow p(1)=a_0+a_1+a_2=0. \]

    Por otro lado, \[p'(x)=a_1+2a_2x \Rightarrow p'(1)=a_1+2a_2=0.\]

    Luego unas ecuaciones cartesianas son \(U\equiv \left\{\begin{array}{l} a_0+a_1+a_2=0, \\ a_1+2a_2=0. \end{array}\right.\)

    Resolviendo, \[\left\{\begin{array}{l} a_1=-2a_2, \\ a_0-2a_2+a_2=0. \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_0=\lambda, \\ a_1=-2\lambda,\\ a_2=\lambda. \end{array} \right.\] Por lo tanto, una base de \(U\) es \(\{(1,-2,1)_{B_{S}}\}=\{1-2x+x^2\}\).

  3. Calcula las ecuaciones cartesianas del subespacio \(U^{\perp}\).

    Para usar la matriz de Gram para calcular el producto escalar, será necesario calcular la matriz de Gram con respecto a la base estándar, que no es la del apartado a). Algunos de los cálculos sí sirven:

    \[ \langle 1,1\rangle=1, \]

    \[ \langle 1,x\rangle=\int_0^1 1\cdot (x)dx=\left. \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1=\dfrac{1}{2}, \]

    \[ \langle 1,x^2\rangle=\dfrac{1}{3}, \]

    \[ \langle x,x\rangle=\int_0^1 x^2dx=\left. \dfrac{1}{3}x^3\right]_0^1=\dfrac{1}{3}, \]

    \[ \langle x,x^2\rangle=\int_0^1 x^3dx=\left. \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1=\dfrac{1}{4}, \]

    \[ \langle x^2,x^2\rangle=\dfrac{1}{5}, \]

    \[ G_{B_{S}}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\ \end{array} \right). \]

    Ahora imponemos la condición

    \[ \langle(1,-2,1)_{B_{S}}, (a_0, a_1,a_2)\rangle=0, \]

    \[ (1,-2,1)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right)=0. \]

    Luego unas cartesianas son \(\dfrac{1}{3}a_0+\dfrac{1}{12}a_1+\dfrac{1}{30}a_2=0\), o bien
    \(U^{\perp}\equiv a_0+\dfrac{1}{4}a_1+\dfrac{1}{10}a_2=0\).

  4. Calcula \(p_U(1-2x^2)\) y \(p_{U^{\perp}}(1-2x^2)\).

    Como \(\operatorname{dim}(U)=1\) es rápido calcular \(p_U(1-2x^2)\) usando coeficientes de Fourier. Puesto que \(\{ (1,-2,1)_{B_S} \}\) es un base ortogonal de \(U\).

    \[ p_U((1,0,-2)_{B_S})=\dfrac{\langle(1,0,-2)_{B_S},(1,-2,1)_{B_S}\rangle}{\langle(1,-2,1)_{B_S},(1,-2,1)_{B_S}\rangle} (1,-2,1)_{B_S}. \]

    Calculamos

    \[ (1,-2,1)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array} \right)=\dfrac{1}{5}; (1,-2,1)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array} \right)=\dfrac{4}{15}. \]

    Luego

    \[ p_U((1,0,-2)_{B_S})=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{5}}(1,-2,1)_{B_S}=\dfrac{20}{15}(1,-2,1)_{B_S}=(\dfrac{4}{3},\dfrac{-8}{3},\dfrac{4}{3})_{B_S},\] y por lo tanto \[p_{U^{\perp}}((1,0,-2)_{B_S})=(1,0,-2)_{B_S}-(\dfrac{4}{3},\dfrac{-8}{3},\dfrac{4}{3})_{B_S}= (-\dfrac{1}{3},\dfrac{8}{3},\dfrac{-10}{3})_{B_S}. \]

    Podemos comprobar el resultado:

    \[ \dfrac{-1}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{-10}{3}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=0. \]

Ejercicio 8 En \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\) se consideran los subespacios vectoriales:

\[ U=\{p(x) \in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) | p(-x)=p(x) \}, W=\{p(x) \in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) | p(-x)=-p(x) \}. \]

  1. Descomponer el vector \(3x^3+x-2\) como suma de un vector en \(U\) y otro en \(W\).

  2. Para el producto escalar dado por

    \[ \langle p(x),q(x)\rangle= \int_{-1} ^1 p(x)q(x)dx. \]

    calcular una base ortogonal de \(U\).
  3. Con el mismo producto escalar, calcular \(W^{\perp}\).

  1. Para el producto escalar dado calcular una base ortogonal de \(U\).

    Partimos de la base de \(U\) obtenida \(\{1,x^2\}\) y aplicamos Gram-Schimdt:

    \[ e_1=1, \]

    \[ e_2=x^2-\frac{\langle 1,x^2\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot 1. \]

    Calculamos \(\langle 1,1\rangle=\int_{-1} ^1 1\cdot 1 dx = 2,\) \(\langle 1,x^2\rangle=\int_{-1} ^1 x^2dx = \frac{2}{3}.\) Así \(e_2= x^2-\frac{1}{3}\) y la base ortogonal de \(U\) obtenida es \(\{1, x^2-\frac{1}{3}\}\).

  2. Calcular \(W^{\perp}\).

    Dada la base de \(W\), \(\{x,x^3\}\) observamos que \[ \langle x,1\rangle=\int_{-1} ^1 x\cdot 1 dx = 0, \]

    \[ \langle x,x^2\rangle=\int_{-1} ^1 x\cdot x^2 dx = 0, \]

    \[ \langle x^3,1\rangle=\int_{-1} ^1 x^3\cdot 1 dx = 0, \]

    \[ \langle x^3,x^2\rangle=\int_{-1} ^1 x^3\cdot x^2 dx = 0. \]

    Así que \(U=\mathcal{L}(1,x^2)\) es el subespacio ortogonal a \(W\).

Ejercicio 9 En el espacio \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\) de los polinomios de grado menor o igual que tres, se consideran los subespacios

\[ P=\{ p(x)\in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) |\, p(x)=p(-x) \} \]

\[ I=\{ p(x)\in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) |\, p(x)=-p(-x) \} \] y el producto escalar

\[ \langle p(x),q(x)\rangle = \int_{-1}^{1} p(x)q(x)dx. \]

  1. Calcular bases de \(P\) e \(I\) y comprobar que \(I\) y \(P\) son complementarios.
  2. Calcular bases ortogonales de \(P\) y de \(I\).
  3. ¿Es \(P\) el complemento ortogonal de \(I\) respecto de este producto escalar?
  4. Escribir la fórmula para calcular la proyección ortogonal de un polinomio genérico \(p(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\) sobre \(P\).

  1. Calcular bases de \(P\) e \(I\) y comprobar que \(I\) y \(P\) son complementarios.

    Para calcular la base de \(P\) escribimos la condición \(p(x)=p(-x)\) sobre un polinomio genérico, \(p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\):

    \[ a_0+a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3=a_0-a_1 x+a_2 x^2 -a_3 x^3, \]

    y nos queda \(2a_1 x+ 2a_3x^3=0\), por tanto, para que este polinomio sea cero, deben ser cero ambos coeficientes:

    \[ a_1=0,\\ a_3=0, \]

    que son las ecuaciones cartesianas del subespacio. Una base será \(\{1,x^2\}\), o bien, utilizando coordenadas respecto de la base estándar \(\{1,x,x^2,x^3\}\), \(\{(1,0,0,0),(0,0,1,0)\}\).

    De la misma forma para calcular la base de \(I\) escribimos la condición \(p(x)=-p(-x)\) sobre un polinomio genérico, \(p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\):

    \[ a_0+a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3=-(a_0-a_1 x+a_2 x^2 -a_3 x^3), \]

    y nos queda \(2a_0 + 2a_2x^2=0\), por tanto, para que este polinomio sea cero, deben ser cero ambos coeficientes:

    \[ a_0=0,\\ a_2=0, \]

    que son las ecuaciones cartesianas del subespacio. Una base será \(\{x,x^3\}\), o bien, utilizando coordenadas respecto de la base estándar \(\{1,x,x^2,x^3\}\), \(\{(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}\).

  2. Calcular bases ortogonales de \(P\) y de \(I\).

    Utilizando el método de Gram-Schmidt en ambos casos, sólo es necesario el cálculo de un vector.

    Comenzamos con \(P\):

    \[ p_1(x)=1,\\ p_2 (x)= x^2 +\lambda \cdot 1, \]

    Calculamos el valor de \(\lambda\) para que \(\langle p_1(x),p_2(x)\rangle=0\):

    \[ 0= \int_{-1}^{1} p_1(x)p_2(x)dx = \int_{-1}^{1} 1\cdot(x^2+\lambda )dx = \left. \frac{x^3}{3}+ \lambda x \right]_{-1}^{1} = (1/3 +\lambda )-(-1/3-\lambda), \]

    y nos queda $ 2(1/3 + )=0$ con lo que \(\lambda = -1/3\). Así una base ortogonal de \(P\) es \(\{1, x^2-1/3 \}\).

    Ahora para \(I\):

    \[ p_1(x)=x,\\ p_2 (x)= x^3 +\lambda \cdot 1. \]

    Calculamos el valor de \(\lambda\) para que \(\langle p_1(x),p_2(x)\rangle=0\):

    \[ 0= \int_{-1}^{1} p_1(x)p_2(x)dx = \int_{-1}^{1} x\cdot(x^3+\lambda x )dx = \left. \frac{x^5}{5}+ \lambda \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = (1/5 + (1/3)\lambda )-(-(1/5)-(1/3)\lambda), \]

    y nos queda $ 2(1/5 + (1/3))=0$ con lo que \(\lambda = -5/3\).Así una base ortogonal de \(I\) es \(\{x, x^3-(5/3)x \}\).

  3. ¿Es \(P\) el complemento ortogonal de \(I\) respecto de este producto escalar?

    Sólo es necesario comprobar que cada uno de los vectores de una base de \(P\) es ortogonal con todos los de una base de \(I\).

    Usamos las bases calculadas en el apartado a):

    \[ \langle 1,x\rangle=\int_{-1}^{1} 1\cdot x dx = \left. \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1}=0 \]

    \[ \langle 1,x^3\rangle=\int_{-1}^{1} 1\cdot x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=0 \]

    \[ \langle x^2,x\rangle=\int_{-1}^{1} x^2\cdot x dx = \left. \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=0 \]

    \[ \langle x^2,x^3\rangle=\int_{-1}^{1} x^2\cdot x^3 dx = \left. \frac{x^6}{6}\right]_{-1}^{1}=0 \]

  4. Escribir la fórmula para calcular la proyección ortogonal de un polinomio genérico \(p(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +a_3 x^3\) sobre \(P\).

    Pueden usarse las cartesianas de \(P\) y de su ortogonal que es \(I\) para descomponer el vector genérico

    \[ (a_0,a_1,a_2,a_3)=(a,b,c,d)+(a_0 -a,a_1 -b, a_2 -c, a_3 -d). \]

    Como el primer vector debe estar en \(P\) se tiene \(b=0\) y \(d=0\). Como el segundo sumando debe estar en \(I\) entonces \(a_0-a=0\) y \(a_2-c=0\). Entonces se tiene que la proyección sobre \(P\) es \((a_0,0,a_2,0)\) o bien \(a_0+a_2x^2\).

Ejercicio 10 En \(\mathbb{R}^{4}\) con el producto escalar usual se considera el subespacio

\[ U= \mathcal{L} ((1,1,0,1)), \]

  1. Calcula la proyección ortogonal sobre \(U\) de cada uno de los vectores de la base canónica.
  2. Calcula la proyección ortogonal sobre \(U^{\perp}\) de cada uno de los vectores de la base canónica.

  1. Calcular la proyección ortogonal sobre \(U\) de cada uno de los vectores de la base canónica.

    Como \(U\) tiene dimensión 1, es fácil calcular la proyección usando los coeficientes de Fourier:

    \[ \begin{align*} p_U (1,0,0,0)&=\frac{\langle(1,0,0,0),(1,1,0,1)\rangle}{\langle(1,1,0,1),(1,1,0,1)\rangle}(1,1,0,1)=\frac{1}{3}(1,1,0,1)=(1/3,1/3,0,1/3),\\ p_U (0,1,0,0)&=\frac{\langle(0,1,0,0),(1,1,0,1)\rangle}{\langle(1,1,0,1),(1,1,0,1)\rangle}(1,1,0,1)=\frac{1}{3}(1,1,0,1)=(1/3,1/3,0,1/3),\\ p_U (0,0,1,0)&=\frac{\langle(0,0,1,0),(1,1,0,1)\rangle}{\langle(1,1,0,1),(1,1,0,1)\rangle}(1,1,0,1)=(0,0,0,0),\\ p_U (0,0,0,1)&=\frac{\langle(0,0,0,1),(1,1,0,1)\rangle}{\langle(1,1,0,1),(1,1,0,1)\rangle}(1,1,0,1)=\frac{1}{3}(1,1,0,1)=(1/3,1/3,0,1/3).\\ \end{align*} \]

  2. Calcular la proyección ortogonal sobre \(U^{\perp}\) de cada uno de los vectores de la base canónica.

    \(p_{U^{\perp}} (v)=v-p_U (v)\)

    \[ \begin{align*} p_{U^{\perp}}(1,0,0,0)&=(1,0,0,0)-(1/3,1/3,0,1/3)=(2/3, -1/3,0, -1/3),\\ p_{U^{\perp}}(0,1,0,0)&=(0,1,0,0)-(1/3,1/3,0,1/3)=(-1/3, 2/3,0, -1/3),\\ p_{U^{\perp}}(0,0,1,0)&=(0,0,1,0)-(0,0,0,0)=(0,0,1,0),\\ p_{U^{\perp}}(0,0,0,1)&=(0,0,0,1)-(1/3,1/3,0,1/3)=(-1/3, -1/3,0, 2/3).\\ \end{align*} \]

Ejercicio 11 Para el producto escalar en \(\mathcal{P}^2(\mathbb{R})\) dado por \[ \langle p(x),q(x)\rangle =p(-2)q(-2)+p(0)q(0)+p(2)q(2) \]

calcula la matriz de Gram respecto de la base \(B=\{1,x,x^2\}\).

La matriz de Gram contiene todos los productos de todos los vectores de la base dos a dos. Por ejemplo en la posición 11 está \(\langle 1,1\rangle =1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=3\), en la 12 \(\langle 1,x\rangle =1\cdot (-2)+1\cdot 0+ 1\cdot 2=0\) y así hasta obtener todos los productos (solo hay que calcular 6 por ser la matriz de Gram simétrica)

\[ G=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 8\\ 0 & 8 & 0\\ 8 & 0 & 32 \end{array}\right) \]

Ejercicio 12 Calcula la matriz de Gram del producto escalar en el espacio de las matrices simétricas de orden 2 dado por la fórmula: \[ \langle A,B\rangle =traza(AB) \]

respecto de la base \(B= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}\).

Para obtener la matriz de Gram calculamos el producto de cada dos matrices de la base:

\[\biggl \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\biggr\rangle =traza\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)=traza\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)=1 \]

\[ \biggl\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\biggr\rangle =traza\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)=traza\left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)=0 \]

del mismo modo se calculan los productos restantes y se obtiene

\[ G=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

Ejercicio 13 Consideramos en \(\mathbb{R}^{2}\) el producto escalar que tiene, respecto de la base canónica, matriz de Gram (o matriz métrica) \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calcula una base de \(\mathbb{R}^{2}\) respecto de la cual la matriz de Gram de este producto escalar sea \(I_2\).

Que la matriz de Gram sea la identidad significa que la base sea {}. En primer lugar aplicamos Gram-Schmidt para calcular una base ortogonal; partimos por ejemplo de la base canónica: \[u_1=(1,0); u_2=(0,1)\] Entonces \(e_1=(1,0)\) y \(e_2=(0,1)+\lambda_{21}(1,0)\) donde

\(\lambda_{21}= \frac{\langle u_2,e_1 \rangle}{\langle e_1,e_1\rangle} =- \frac{1}{1} =-1\)

donde los datos se han recogido de la matriz de Gram respecto de \(B_c\). Por tanto una base ortogonal es \(\{(1,0),(-1,1)\}\), el primero tiene norma 1, calculamos la del segundo:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=1 \]

Así que esta base es ortonormal.

Ejercicio 14 En \(\mathbb{R}^{3}\), dado el subespacio \(U\equiv \left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ x+z=0 \end{array}\right.\) y considerando el producto escalar usual, calcula \(p_{U^{\perp}}(0,1,2)\).

Una base de \(U\) es \(\{(1,-1,-1)\}\) y por tanto \(U^{\perp}\equiv x-y-z=0\), descomponemos \[ (0,1,2)=(a,b,c)+(-a,1-b,2-c) \]

e imponemos al primer vector que esté en \(U\) y al segundo que esté en \(W\):

\[ \left\{ \begin{array}{l} a+b=0\\ a+c=0\\ -a-1+b-2+c=0 \end{array}\right. \sim_f \left\{ \begin{array}{l} b=-a\\ c=-a\\ -3a-3=0 \end{array}\right. \sim_f \left\{ \begin{array}{l} a=-1\\ b=1\\ c=1 \end{array}\right. \]

luego \(p_{U^{\perp}}(0,1,2)=(1,0,1)\).

Ejercicio 15 Calcular una base ortogonal de \(\mathbb{R}^2\) para el producto escalar que, respecto de la base canónica, tiene como matriz de Gram \[ G= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]

Partimos de la base canónica \(B_c= \{ v_1=(1,0),(0,1)\}\) y aplicamos Gram-Schmidt: \[ \begin{array}{l} u_1=v_1=(1,0)\\ u_2=v_2+\lambda_{21} u_1=(0,1)+\lambda_{21}(1,0)\\ \end{array} \]

Calulamos \(\lambda_{21}\) usando la matriz de Gram dada:

\[ \lambda_{21}=-\frac{\langle (1,0),(0,1)\rangle }{\langle (1,0),(1,0)\rangle } = -(-1/2) =1/2 \]

y obtenemos \[ \begin{array}{l} u_2=(0,1)+\frac{1}{2}(1,0)=(\frac{1}{2},1)\\ \end{array} \]

Luego una base ortogonal es \(\{(1,0),(\frac{1}{2},1)\}\).

Ejercicio 16 En \(\mathbb{R}^4\) con el producto escalar usual se consideran los subespacios

\[ U\equiv x+y+z=0\; \mbox{ y } W\equiv \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y-z=0 \end{array}\right. \]

  1. Calcula unas cartesianas de los subespacios \(U^{\perp}\) y \(W^{\perp}\).
  2. Calcula una base ortogonal de \(U\).
  3. Calcula \(p_U(0,0,1,1)\) y \(p_W(0,0,1,1)\).

  1. Puesto que el producto escalar es el usual, de las ecuaciones cartesianas obtenemos directamente bases de los subespacios ortogonales cuyos vectores son los coeficientes de cada ecuación:

    Base de \(U^{\perp}=\{(1,1,1,0)\}\)

    Base de \(W^{\perp}=\{ (1,0,0,0),(0,1,-1,0)\}\).

    Pero también podemos proceder de este otro modo (que es general y puede usarse con cualquier producto escalar):

    • calcular una base de \(U\):

      como \(dim\, U= 4-\mbox{nº cart.}=4-1=3\), así que una base está formada por 3 soluciones de la ecuación (en \(\mathbb{R}^4\), por tanto hay 4 incógnitas) que sean linealmente independientes, por ejemplo: \[ \{(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,1)\} \]

      Para calcular la base más sencilla reducimos por columnas la matriz que forman estos vectores: \[\left(\begin{array}{rrr} \boxed{1} & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} \boxed{1} & 0 & 0 \\ -1 & \boxed{1} & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} \boxed{1} & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{1} & 0\\ -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & \boxed{1} \end{array}\right) \]

      luego la base más sencilla para \(U\) es

      \[ \{(1,0,-1,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,1)\} \]

    • para cada uno de los vectores de una base de \(U\) imponemos la condición:
      \(\langle u,\overrightarrow{x}\rangle =0\) y así obtenemos las cartesianas de \(U^{\perp}\): para \(u_1=(1,0,-1,0)\) se obtiene \(x-z=0\);

      para \(u_2=(0,1,-1,0)\) el resultado es \(y-z=0\); y para \(u_3=(0,0,0,1)\) aparece \(t=0\). Por tanto

      \[ U^{\perp} \equiv \left\{ \begin{array}{l} x-z=0\\ y-z=0\\ t=0 \end{array}\right. \]

      Procediendo del mismo modo para \(W\) obtenemos \[ W^{\perp} \equiv \left\{ \begin{array}{l} y+z=0\\ t=0 \end{array}\right. \]

  2. Partimos de la base más sencilla (aunque se puede hacer desde una base cualquiera de \(U\)) y aplicamos Gram-Schmidt: \[ \{u_1=(1,0,-1,0),u_2=(0,1,-1,0),u_3=(0,0,0,1)\} \]

    \(e_1=(1,0,-1,0)\)

    \(e_2=(0,1,-1,0)+\lambda_{21}(1,0,-1,0)=(0,1,-1,0)-\frac{1}{2}(1,0,-1,0)=(-1/2,1,-1/2,0)\)

    donde hemos calculado

    \[ \lambda_{21}= \frac{-\langle (0,1,-1,0),(1,0,-1,0)\rangle }{\langle (1,0,-1,0),(1,0,-1,0)\rangle }=\frac{-1}{2} \]

    Por último como \(\langle (u_3,e_1\rangle =0\) y \(\langle u_3,e_2\rangle =0\) entonces \(e_3=(0,0,0,1)\). Una base ortogonal de \(U\) es \[ \{(1,0,-1,0),(-1/2,1,-1/2,0),(0,0,0,1)\} \]

  3. \(p_U(0,0,1,1)=(0,0,1,1)-p_{U^{\perp}}(0,0,1,1)\) puesto que \(dim \, U^{\perp}=1\) y por tanto una base ortogonal de \(U^{\perp}\) es \(\{(1,1,1,0)\}\). Usando coeficientes de Fourier:

    \[ p_{U^{\perp}}(0,0,1,1)=\frac{\langle (0,0,1,1),(1,1,1,0)\rangle }{\langle (1,1,1,0),(1,1,1,0)\rangle }(1,1,1,0)=\frac{1}{3}(1,1,1,0) \]

    por tanto \[ p_U(0,0,1,1)=(-1/3,-1/3,2/3,1) \]

    Usaremos cartesianas de \(W\) y de \(W^{\perp}\) para calcular \[ p_W (0,0,1,1)=(\alpha,\beta, \gamma,\delta)+(-\alpha,-\beta, 1-\gamma,1-\delta) \] imponemos que el primer vector esté en \(W\) y que el segundo esté en \(W^{\perp}\) y resolvemos el sistema: \[ \left. \begin{array}{l} \alpha=0\\ \beta- \gamma=0\\ -\beta+1-\gamma=0\\ 1-\delta=0 \end{array}\right\} \sim_f \left. \begin{array}{l} \alpha=0\\ \beta=1/2\\ \gamma=1/2\\ \delta=1 \end{array}\right\} \]

    luego \(p_W(0,0,1,1)=(0,1/2,1/2,1)\).

Ejercicio 17 En \(\mathbb{R}^3\) se considera el producto escalar dado por la fórmula:

\[ \langle(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_1y_3-x_2y_1+2x_2y_2+x_2y_3-x_3y_1+x_3y_2+1x_3y_3 \]

  1. Calcula el coseno del ángulo entre los vectores \((1,0,0)\) y \((0,1,0)\).
  2. Determina la matriz de Gram de este producto escalar respecto de la base canónica de \(\mathbb{R}^3\).
  3. Encuentra una base ortonormal de este espacio vectorial euclídeo.
  4. Dado el subespacio \(U\equiv \left\{ \begin{array}{c} x=0\\ y=0 \end{array}\right.\) determina \(U^{\perp}\).
  5. Calcula la proyección del vector \(v=(1,0,0)\) sobre \(U\).

  1. \[ cos\, \alpha =\frac{\langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle }{||(1,0,0)||\cdot ||(0,1,0)||}=\frac{-1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=-1/2 \]

    (estos productos escalares pueden calcularse directamente usando la fórmula proporcionada o bien después del apartado b)
  2. \[ G=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1\\ -1& 2 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \]

  3. Puesto que la matriz de Gram respecto de \(B_c\) no es la identidad, \(B_c\) no es una base ortonormal, así que empleamos el método de Gram-Schmidt partiendo de \(B_c\) para calcular una base ortogonal.

    \(e_1=(1,0,0)\)

    \(e_2=(0,1,0)+\lambda_{21}(1,0,0)\) y calculamos

    \[ \lambda_{21} =-\frac{ \langle (0,1,0),(1,0,0)\rangle }{ \langle (1,0,0),(1,0,0)\rangle } = - \frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \]

    por tanto

    \(e_2=(1/2,1,0)\)

    \(e_3=(0,0,1)+\lambda_{31}(1,0,0)+\lambda_{32}(1/2,1,0) =(1/3. -1/3,1)\)

    \[ \lambda_{31} =-\frac{ \langle (0,0,1),(1,0,0)\rangle }{ \langle (1,0,0),(1,0,0)\rangle } = -\frac{-1}{2}=\frac{1}{2} \]

    \[ \lambda_{32} =-\frac{\langle (0,0,1),(1/2,1,0)\rangle }{\langle (1/2,1,0),(1/2,1,0)\rangle }=-\frac{1/2}{3/2}=-\frac{1}{3} \]

    Todos estos productos escalares se han calculado usando la matriz de Gram, por ejemplo:

    \[ \langle (1/2,1,0),(1/2,1,0)\rangle =\begin{pmatrix} 1/2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1\\ -1& 2 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\begin{pmatrix} 1/2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 3/2 & 1/2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}=3/2 \]

    Una vez obtenida esta base ortogonal dividiendo cada vector por su norma tendremos la base ortonormal. Tenemos calculadas \(||e_1||=\sqrt{2}; ||e_2||=\sqrt{3/2}\) y calculamos \(||e_3||\):

    \[ ||(1/3,-1/3,1)||^2=\begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 & 1 \end{pmatrix}\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1\\ -1& 2 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)\begin{pmatrix} 1/3\\ -1/3\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/3\\ -1/3\\ 1 \end{pmatrix}=1/3 \]

    Así que una solución es

    \[ B=\Bigl\{ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(1/2, 1,0), \sqrt{3}(1/3,-1/3,1)\Bigr\} \]

  4. Una base de \(U\) es \(\{(0,0,1)\}\), luego \(U^{\perp}\) tiene de ecuación cartesiana

    \[ \langle (0,0,1),(x,y,z)\rangle =0 \]

    usando la matriz de Gram para calcular el producto escalar nos queda:

    \[ U^{\perp}\equiv \boxed{-x+y+z=0} \]

  5. Como \(dim \, U =1\) la base que usamos en el apartado anterior es ortogonal y podemos usar la fórmula de los coeficientes de Fourier:

    \[ p_U(1,0,0)=\frac{(1,0,0),(0,0,1)}{||(0,0,1)||^2}(0,0,1)=\frac{-1}{1}(0,0,1)=\boxed{(0,0,-1)} \]

Ejercicio 18 En \(\boxed{\mathbb{R}^4}\) calcula una base ortogonal de

\[ W\equiv \left\{ \begin{array}{l} x+y-z=0 \end{array}\right. \]

Obtén también \(p_W(0,0,1,1)\).

Calculamos \(dim\, W= 4- \mbox{ nº cart.}=4-1=3\), así que una base de \(W\) tiene 3 vectores. Calculamos una (puede hacerse calculando unas paramétricas, o bien eligiéndolos de un modo adecuado para que cumplan las ecuaciones y sean linealmente independientes):

\[ \{ u_1=(1,-1,0,0),u_2=(1,0,1,0),u_3=(0,0,0,1)\} \]

Aplicamos Gram-Schmidt:

\[ e_1=(1,-1,0,0) \]

\[ e_2=(1,0,1,0)+\lambda_{21}(1,-1,0,0) \]

calculamos

\[ \lambda_{21}=\frac{-\langle u_2,e_1\rangle }{\langle e_1,e_1\rangle }=\frac{-1}{2} \]

luego

\[ e_2=(1/2,1/2,1,0) \]

Ahora, como \(u_3\) ya es perpendicular con ambos, entonces es \(e_3=u_3\) (si se hacen los cálculos \(\lambda_{31}=0\) y \(\lambda_{32}=0\)). Una base ortogonal es

\[ \{ e_1=(1,-1,0,0),e_2=(1/2,1/2,1,0),e_3=(0,0,0,1)\} \]

Para calcular la proyección ortogonal podemos utilizar la fórmula con los coeficientes de Fourier respecto de la base ortogonal que acabamos de calcular. Llamamos \(v=(0,0,1,1)\):

\[ p_W(v)=\frac{\langle v,e_1\rangle }{\langle e_1,e_1\rangle }e_1+\frac{\langle v,e_2\rangle }{\langle e_2,e_2\rangle }e_2+\frac{\langle v,e_3\rangle }{\langle e_3,e_3\rangle }e_3 \]

y haciendo los cálculos de los coeficientes:

\[ \frac{\langle v,e_1\rangle }{\langle e_1,e_1\rangle }=0;\, \frac{\langle v,e_2\rangle }{\langle e_2,e_2\rangle }=\frac{1}{3/2}=2/3;\, \frac{\langle v,e_3\rangle }{\langle e_3,e_3\rangle }=\frac{1}{1}=1 \]

Luego

\[ p_W(0,0,1,1)=\frac{2}{3}(1/2,1/2,1,0)+1\cdot (0,0,0,1)=\boxed{(1/3,1/3,2/3,1)} \]

Ejercicio 19 En \(\mathcal{P}^2(\mathbb{R})\), el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales, se considera el producto escalar

\[ \langle p(x),q(x)\rangle =p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1) \]

  1. Calcula la matriz de Gram de este producto escalar respecto de la base \(B_S=\{1,x,x^2\}\)

  2. Calcula el subespacio ortogonal a

    \[ U=\{ p(x)\in \mathcal{P}^2(\mathbb{R}) / p(0)=0\} \]
  3. Calcula la proyección ortogonal del polinomio \(1+x-x^2\) sobre \(U\).

  1. Calculamos los productos escalares de todas las parejas de polinomios de \(B_s\):

    \(\langle 1,1\rangle =1^2+1^2+1^2= 3; \,\langle 1,x\rangle =1\cdot(-1)+ 1\cdot 0 + 1\cdot 1=0;\)

    \(\langle 1,x^2\rangle = 1\cdot (-1)^2+1\cdot 0^2+1\cdot 1^2=2; \, \langle x,x\rangle = (-1)^2+0^2+1^2=2;\)

    $ x,x^2= (-1)(-1)^2+ 0^2 + 1^2=0; , x2,x2=((-1)2)2+ (02)2+(12)2=2$

    con lo que la matriz de Gram queda:

    \[ G= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2\\ \end{array}\right) \]

  2. En primer lugar calculamos unas cartesianas de \(U\):

    dado \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2=(a_0,a_1,a_2)_{B_s}\) que \(p(0)=0\) significa que \(a_0=0\). Ahora una base de este subespacio es \(\{(0,1,0)_{B_s}, (0,0,1)_{B_s}\}\) (o bien \(\{x,x^2\}\)). Para obtener el ortogonal a \(U\) imponemos que un vector genérico \((a_0,a_1,a_2)_{B_s}\) sea perpendicular a ambos vectores de la base: \(\langle (0,1,0)_{B_s}, (a_0,a_1,a_2)_{B_s}\rangle =0\) y $ (0,0,1){B_s}, (a_0,a_1,a_2){B_s}$. Calculamos los productos usando la matriz de Gram del apartado anterior:

    \[ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right)=2a_1=0 \]

    \[ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1 \\ a_2 \\ \end{array}\right)=2a_0+2a_2=0 \]

    Con lo que unas cartesianas de \(U^{\perp}\) son

    \[ U^{\perp}\equiv \left\{ \begin{array}{l} a_1=0\\ a_0+a_2=0 \end{array}\right. \]

  3. Puesto que tenemos cartesianas de \(U\) y de \(U^{\perp}\) podemos utilizar el método de escribir el vector como suma de 2:

    \[ (1,1,-1)_{B_s}=(\alpha, \beta, \gamma)_{B_s}+(1-\alpha, 1-\beta, -1-\gamma)_{B_s} \]

    ahora \(\alpha=0\) para que el primer vector esté en \(U\) y \(1-\beta=0; 1-\alpha-1-\gamma=0\) para que el segundo esté en \(U^{\perp}\); resolviendo \(\alpha=0;\, \beta=1; \, \gamma=0\) con lo que \(p_U(1+x-x^2)=x\)