Formas cuadráticas y diagonalización por congruencia

Formas bilineales y cuadráticas. Matriz asociada a una forma cuadrática. Diagonalización por congruencia de una matriz simétrica (mediante operaciones elementales). Clasificación de formas cuadráticas/matrices simétricas reales. Signatura de una forma cuadrática.

Ejercicio 1 Determina, en función de \(b\), la signatura de la forma cuadrática \(\phi:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) dada por

\[ \phi(x,y)= bxy. \]

La matriz asociada a la forma cuadrática es

\[ \begin{pmatrix} 0 & b/2\\ b/2 & 0 \end{pmatrix} \]

que podemos diagonalizar por congruencia

\[ \begin{pmatrix} 0 & b/2\\ b/2 & 0 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} b/2 & b/2\\ b/2 & 0 \end{pmatrix}\sim_c\begin{pmatrix} b & b/2\\ b/2 & 0 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} b & b/2\\ 0 & -b/4 \end{pmatrix}\sim_c\begin{pmatrix} b & 0\\ 0 & -b/4 \end{pmatrix}. \]

Si \(b=0\) la signatura es \((0,0)\); si \(b\not = 0\) la signatura es \((1,1)\).

También pueden calcularse los valores propios que son

\[ \lambda= \pm (b/4) \] y queda el mismo resultado, por supuesto.

Ejercicio 2 Determina para qué valores de \(a\) la fórmula

\[ f(x,y,z)=x^2+2axy+2xz+2ay^2+(a+1)z^2, \]

define una forma cuadrática definida positiva.

Calculamos la matriz simétrica asociada a esta forma cuadrática y la diagonalizamos por congruencia para obtener su signatura:

\[\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ a & 2a & 0\\ 1 & 0 & a+1 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 1\\ 0 & 2a-a^2 & -a\\ 0 & -a & a \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2a-a^2 & -a\\ 0 & -a & a \end{array}\right) \]

Ahora intercambiamos las filas segunda y tercera y también las columnas segunda y tercera:

\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2a-a^2 & -a\\ 0 & -a & a \end{array}\right) \sim_f \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -a & a\\ 0 & 2a-a^2 & -a \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & a & -a\\ 0 & -a & 2a-a^2 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & a & -a\\ 0 & 0 & a-a^2 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & a & 0\\ 0 & 0 & a-a^2 \end{array}\right). \]

Luego será definida positiva cuando los tres elementos de la diagonal lo sean, es decir \(a>0\) y \(a(1-a)>0\) luego debe ser \(0<a<1\).

Ejercicio 3 Dada la matriz:

\[A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Razonar que es diagonalizable y determinar su forma diagonal y una matriz de paso, \(P\), verificando que \(P^{-1}=P^t\). ¿Cuál es la signatura de \(A\)?

La matriz \(A\) es simétrica y el Teorema espectral afirma que toda matriz simétrica y real es diagonalizable, por tanto \(A\) lo es. Nos piden una diagonalización por semejanza ortogonal, aí que tenemos que calcular en primer lugar los valores propios:

\[ \begin{align*} |A-\lambda I| & =\left| \begin{array}{rrrr} 2-\lambda & 0 & 0 & -1\\ 0 & 2-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2-\lambda & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2-\lambda \end{array}\right|=(F_4+F_1\rightarrow F_4)= \left| \begin{array}{rrrr} 2-\lambda & 0 & 0 & -1\\ 0 & 2-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2-\lambda & 0 \\ 1-\lambda & 0 & 0 & 1-\lambda \end{array}\right|\\ & =(C_1-C_4 \rightarrow C_1)= \left|\begin{array}{rrrr} 3-\lambda & 0 & 0 & -1\\ 0 & 2-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda)(1-\lambda)[(2-\lambda)^2-1]=(3-\lambda)^2(1-\lambda)^2. \end{align*} \]

Tenemos entonces los valores propios \(\lambda=1\) y \(\lambda=3\) ambos con multiplicidad algebraica dos. Tenemos entonces que la matriz diagonal semejante y congruente con \(A\) es

\[ D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1& 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \]

y por tanto la signatura de \(A\) es \((4,0)\), por tanto definida positiva.

Calculamos ahora los subespacios propios y elegimos una base ortonormal de cada uno.

\(V_{\lambda=1}\)

\[ (A-1\cdot I)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

nos da como cartesianas \(\left\{\begin{array}{l} x-t=0\\ y-z=0 \end{array}\right.\) y una base ortogonal es \(\{(1,0,0,1),(0,1,1,0)\}\).

\(V_{\lambda=3}\)

\[ (A-1\cdot I)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \]

nos da como cartesianas \(\left\{\begin{array}{l} x+t=0\\ y+z=0 \end{array}\right.\) y una base ortogonal es \(\{(1,0,0,-1),(0,1,-1,0)\}\).

Dividiendo cada vector por su norma obtenemos una base ortonormal de vectores propios, lo que nos da la matriz ortogonal \(P\):

\[ P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 0 & 1/\sqrt{2}\\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0\\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 & -1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}. \]

Ejercicio 4 Calcula la signatura de la forma cuadrática definida por la matriz

\[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -5 \end{array}\right) \]

Diagonalizamos por congruencia (realizando las mismas operaciones por filas que por columnas), por lo que necesitamos un pivote en la segunda fila

\[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -5 \end{array}\right)\sim_f (F_2\leftrightarrow F_3) \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)\sim_c (C_2\leftrightarrow C_3) \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & -1\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) \]

y ahora usamos el $-5 $ para hacer cero en la posición 32:

\[ \sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & -1\\ 0 & 0 & 1/5 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1/5 \end{array}\right) \]

por tanto la signatura es \(\boxed{(2,1)}\).

Ejercicio 5 Clasifica, según los valores reales de \(a\), la forma cuadrática definida por la matriz

\[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & a\\ 0 & a & -4 \end{array}\right) \]

Diagonalizamos por congruencia (con la única regla de usar las mismas operaciones elementales por filas que por columnas)

\[ C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & a\\ 0 & a & -4 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & a\\ 0 & 0 & -4-a^2 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0a\\ 0 & 0 & -4-a^2 \end{array}\right) \]

Puesto que \(-4-a^2\) es negativo para cualquier valor real de \(a\), la signatura de la matriz es \((2,1)\) y por tanto es no definida .

Ejercicio 6 Dada la matriz

\[ A= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) \]

Calcula la signatura de la forma cuadrática definida por \(A\).

Diagonalizamos por congruencia:

\[ A= \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -2\\ 0 & -2 & 0 & -2\\ 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & -2\\ 0 & -2 & 0 & -2\\ 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right) \]

\[ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & -2 & -4\\ 0 & -2 & 0 & -2\\ 0 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -4 & -2 & -4\\ 0 & -2 & 0 & -2\\ 0 & -4 & -2 & 0 \end{array}\right) \]

\[ \sim_f \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -4 & -2 & -4\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right) \]

y se obtiene que los signos de los elementos de la matriz diagonal son 3 positivos y 1 negativo. Entonces \(sig(A)=(3,1)\).

Ejercicio 7 Calcula la signatura de la forma cuadr{'a}tica \(\Phi: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por:

\[ \Phi (x,y,z)= 5 x^2 + 3 y^2 + 2 z^2 - 2xy -4 xz \]

Escribimos la matriz simétrica asociada y la diagonalizamos por congruencia

\[ \begin{pmatrix} 5 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & 0\\ -2 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 0\\ 5 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ 0 & 3 & -1 \\ -2 & -1 & 5\\ \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3\\ \end{pmatrix} \]

\[ \sim_c \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3\\ \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3-1/3\\ \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 8/3\\ \end{pmatrix} \]

luego \(sig(A)=(3,0)\).