Espacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal. Bases y coordenadas. Cambio de base. Subespacios vectoriales: bases, dimensión, ecuaciones paramétricas y cartesianas. Operaciones con subespacios: suma, intersección. Fórmula de las dimensiones. Suma directa, subespacios complementarios.
¿Cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes que puede contener dicho conjunto, según los valores de a y b?
Solución
Para determinar si los vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes construimos la matriz cuyas columnas son esos vectores, a continuación calculamos su rango y lo comparamos con el número de vectores. Se tiene que los vectores son linealmente independientes si y sólo si \(\operatorname{rg}(A)\) coincide con el número de vectores (o de columnas) y en otro caso son linealmente dependientes.
La matriz que se forma es:
\[
A=\left( \begin{array}{cccc}
b & 0 & 0 & 0\\
0 & a & 1 & 1+a\\
a & 1+a& 1+a & 2+2a\\
b & 0 & 0 & 1-a
\end{array}\right).
\]
Puesto que es cuadrada de orden cuatro, entonces tendrá rango cuatro exactamente cuando el determinante sea distinto de cero. Lo calculamos:
\[
|A|=\left| \begin{array}{cccc}
b & 0 & 0 & 0\\
0 & a & 1 & 1+a\\
a & 1+a& 1+a & 2+2a\\
b & 0 & 0 & 1-a
\end{array}\right|= \left| \begin{array}{cccc}
b & 0 & 0 & 0\\
0 & a-1 & 1 & 1+a\\
a & 0 & 1+a & 2+2a\\
b & 0 & 0 & 1-a
\end{array}\right|= b(a-1)(1+a)(1-a).
\]
Luego si \(b\not = 0\) y \(a\not\in\{-1,1\}\), el rango es cuatro y los vectores son linealmente independientes.
Para estudiar todos los casos podemos representarlos en una tabla de doble entrada e iremos calculando cada uno de ellos. El primero que completamos es el caso que acabamos de obtener, si \(b\not = 0, a\not = \pm 1\) el rango es cuatro. En los demás uno o los dos parámetros toman valores concretos, por lo que es más fácil su estudio. La solución es:
Para los casos restantes, podemos utilizar directamente sage para calcular el rango:
\(a=1, \; b=0\)
\(a=-1, \; b=0\)
Ejercicio 2 En el conjunto de polinomios de \(\mathbb{R}[x]\) con grado menor o igual que dos, estudia si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente (se recomienda usar coordenadas en las bases más adecuadas).
que tiene rango tres (las tres primeras columnas forman una submatriz con determinante distinto de cero). Los cuatro vectores son linealmente dependientes.
Realmente no era necesario el cálculo del rango, puesto que no podía ser en ningún caso mayor que tres. Podíamos haber utilizado que como la dimensión del espacio es tres, el máximo número de vectores linealmente independientes en este espacio vectorial es también tres.
Comprobemos el resultado obtenido con sage.
Ejercicio 3 Estudia si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes (se recomienda usar coordenadas en las bases más adecuadas).
En el conjunto de polinomios de \(\mathbb{Z}_3[x]\) con grado menor o igual que tres:
En cada caso utilizaremos la base más sencilla que conozcamos del espacio vectorial para obtener coordenadas de los vectores y aplicar el criterio conocido.
En este caso, utilizamos la base \(B=\{1,x,x^2,x^3\}\) y de nuevo escribimos los vectores por sus coordenadas:
Hemos tenido en cuenta que los coeficientes están en \(\mathbb{Z}_3\) y por tanto \(-3=0,-4=2,18=0,9=0\). En este caso observamos que se repite el mismo vector \((0,0,0,1)_B\), si lo consideramos dos veces el conjunto sería linealmente dependientes, pero como es un conjunto observamos que en realidad lo forman de tres vectores. Escribimos la matriz
Este ejercicio puede realizarse por varios métodos. Explicaremos dos de ellos.
Método 1
Para calcular la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) necesitamos como datos los vectores que forman \(B\) escritos por sus coordenadas en \(B'\). Nos planteamos entonces calcular \(\alpha, \beta, \gamma\) tales que: \[(4,0,7)=\alpha (1,0,2)+\beta (4,1,5)+\gamma (1,0,3)\] y por tanto tenemos que resolver el sistema con matriz ampliada:
Observamos que ambos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes, y también el tercer sistema que debemos resolver, solo cambian las columnas de términos independientes. Podemos resolver los tres sistemas simultáneamente escribiendo
Entonces, \(X_c=PX\), \(X_c=QX'\) donde \(X,X',X_c\) representan a las coordenadas de \(\overrightarrow{x}\) en las bases \(B,B'\) y \(B_c\), respectivamente. Igualando las dos fórmulas
\[
QX'=PX
\]
y despejando \(X'=Q^{-1}PX\), por lo que la matriz \(M_{BB'}=Q^{-1}P\).
Si observamos el método anterior, hemos calculado precisamente \(Q^{-1}P\) utilizando operaciones elementales.
La matriz \(M_{B'B}=(Q^{-1}P)^{-1}=P^{-1}Q\).
Ejercicio 5 En un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), tenemos unos vectores \(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},\, x\) cuyas coordenadas en una cierta base vienen dadas a continuación. Comprueba que \(\{e_{1},e_{2},\dots,e_{n}\}\) es una base en cada uno de los casos, y halla las coordenadas del vector \(x\) en dicha base.
Para comprobar que los vectores \(\{e_1,e_2,e_3\}\) forman base es suficiente probar que son linealmente independientes, puesto que son tres que es la dimensión del espacio vectorial. Calculamos el rango de la matriz que forman:
Observamos la matriz ampliada y las columnas de la matriz de coeficientes son los vectores de la base, mientras que la de términos independientes es el vector que queremos escribir por coordenadas en esta base:
luego son base (la matriz de coeficientes tiene rango cuatro) y \(x=(1,-1,1,0)_B\).
Comprobemos el resultado obtenido con sage.
Ejercicio 6 Completa \(\{(1,1,0),(2,1,1)\}\) a una base de \(\mathbb{Q}^3\).
Solución
Comenzamos observando que los dos vectores son linealmente independientes (no son múltiplo uno del otro). Se trata de añadir vectores a los dados hasta obtener una base de \(\mathbb{Q}^3\), como \(\dim(\mathbb{Q}^3)=3\) en cualquier base debe haber tres vectores, con lo que en este caso habrá que añadir un vector. Se puede realizar de infinitas formas, la única condición es que los tres vectores sean linealmente independientes; se aconseja hacerlo de modo que esta condición sea fácil de comprobar. Partimos de la matriz
comprobar que el determinante es distinto de cero es muy fácil. Entonces hemos completado con el vector \((1,0,0)\). También valdría añadir \((0,0,1)\):
Como la dimensión de este espacio es tres, cualquier conjunto de generadores tiene que tener al menos tres vectores. Así que en este caso la respuesta es negativa.
Estamos en el mismo espacio vectorial y ahora sí tenemos tres vectores. Serán sistema de generadores si y solo si son base, lo que equivale a que sean linealmente independientes. Escribimos sus coordenadas en \(B_s=\{1,x,x^2\}\) y calculamos el rango de la matriz que forman:
Esta matriz tiene determinante \((-1)(4)=-4\) y por tanto son sistema de generadores.
En este caso tenemos cuatro vectores y \(\dim(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Z}_7))=4\), así que razonamos como antes, esta vez usando coordenadas en la base estándar
Como aparecen 2 parámetros que pueden tomar valores en \(\mathbb{Z}_3\), en total hay \(3\cdot 3=9\) vectores distintos en \(W\).
También se puede razonar sin necesidad de calcular las paramétricas, comprobando que la dimensión de \(W\) es dos, simplemente probando que los dos generadores son linealmente independientes.
Paramétricas de \(U\). Para ello resolvemos el sistema que forman las ecuaciones cartesianas, que en este caso ya es escalonado reducido; depende de dos parámetros (las incógnitas \(y\) y \(z\) son libres):
Además obtenemos que una base es: \[
\{ (1,1,0,0), (1,0,1,0) \}.
\]
Cartesianas de \(W\). Puesto que ya tenemos las ecuaciones paramétricas de \(W\) podemos calcular unas ecuaciones cartesianas eliminando parámetros: despejamos los dos parámetros \(\lambda_1=x\) (en la primera ecuación), \(\lambda_2= y\) (en la segunda ecuación), uno en una ecuación paramétrica en la que aparece y sustituimos en las otras dos ecuaciones:
Ha sido tan sencillo porque las ecuaciones paramétricas de las que partimos son las más sencillas (hemos usado la base más sencilla). También podría procederse formando la matriz
\[
\begin{pmatrix}
x & 1 & 0\\
y & 0 & 1\\
z & 1 & 0\\
t & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
e imponiendo que su rango debe ser dos, con lo que hay que elegir dos menores de orden tres que al igualarlos a cero nos den dos ecuaciones que no sean múltiplo una de la otra. Este procedimiento es en general mucho más laborioso.
Ejercicio 9 Para cada uno de los siguientes subespacios de \(\mathbb{R}^{4}\) calcula unas ecuaciones paramétricas y unas cartesianas.
Observemos la información que tenemos sobre los vectores que están en \(U\): llamamos \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) a las coordenadas de un vector de \(\mathbb{R}^4\) y para que pertenezca a \(U\) se tiene que cumplir:
Donde \(a\), \(b\) son parámetros. Así tenemos unas ecuaciones paramétricas de \(U\). Para calcular cartesianas podemos eliminar parámetros, que en este caso es muy sencillo:
Donde \(a\), \(b\) son parámetros. Como los vectores que acompañan a cada parámetro son linealmente independientes (esos vectores son \(\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}\)) entonces la dimensión de \(W\) es tres y debe tener una ecuación cartesiana (puesto que la dimensión de \(W\) es la dimensión del total menos el número de ecuaciones cartesianas), así que con encontrar una hemos terminado. Observando las paramétricas descubrimos que la tercera ecuación (\(x_3=0\)) ya es una cartesiana puesto que en ella no aparece ningún parámetro, así que
\[
W\equiv x_3=0.
\]
Para el caso de \(U\), puesto que nos dan unas ecuaciones paramétricas, podemos usar un argumento idéntico al anterior: los vectores del sistema de generadores que aparecen en las paramétricas que nos dan son linealmente independientes (hay que comprobarlo, claro). En este caso esos vectores son \(\{(1,0,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1)\}\). Utilizando de nuevo el argumento de antes, necesitamos solo una ecuación cartesiana y la segunda, \(x_2=0\), ya lo es, luego
\[
U\equiv x_2=0.
\]
Para \(W\) el mismo razonamiento nos da que \[W\equiv x_3=0.\]
Para \(U\) en primer lugar calculamos la base más sencilla:
Calcula las coordenadas del vector \(v=(1,1)_B\) respecto de \(B'\) siendo \(B=\{(1,1),(1,2)\}\) y \(B'=\{(2,1),(0,1)\}\), en el espacio vectorial \(\mathbb{Z}_3^2\).
En el espacio vectorial \(\mathbb{Z}_3^3\) se considera el plano generado por los vectores \(u=(1,2,1)\) y \(v=(1,1,2)\). Calcula una ecuación cartesiana de dicho plano.
Solución
Debemos calcular en primer lugar las coordenadas de \(v\) en la base canónica:
Calcula la base más sencilla de \(U\) y unas cartesianas de \(W\).
Solución
Para calcular la base más sencilla de \(U\), de las ecuaciones cartesianas obtendremos unas paramétricas resolviendo el sistema. De estas paramétricas obtenemos una base desde la que calcular la base más sencilla.
Resolver las cartesianas es inmediato puesto que ya es un sistema escalonado reducido, \(y\), \(z\) actúan como parámetros, luego nos queda:
\[
U\equiv \left\{
\begin{array}{lcrrr}
x &=& -\lambda_1-\lambda_2,\\
y &=& \lambda_1,\\
z &=& \lambda_2,\\
t &=& 0.\\
\end{array}
\right.
\]
Con lo que obtenemos la base de \(U\), \(\{ (-1,1,0,0),(-1,0,1,0)\}\). Ahora calculamos la base más sencilla a partir de la forma de Hermite por columnas:
\[
W\equiv \left\{
\begin{array}{lclrr}
x &=& \lambda_1,\\
y &=& \lambda_2,\\
z &=& \lambda_3,\\
t &=& \frac{1}{2}\lambda_1+\lambda_2.\\
\end{array}
\right.
\]
Eliminando los tres parámetros y reordenando la ecuación restante nos queda
\[
W\equiv x+2y-2t=0.
\]
Ejercicio 12 Para los subespacios de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) siguientes:
\[
U=\left\{ A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mbox{ tal que } A=A^t\right\},
\]
\[
W=\left\{ A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\mbox{ tal que } A=-A^t\right\}.
\]
Calcula la dimensión y una base de cada uno de ellos.
así que si \(a\not = 2\) el rango es tres y \(\dim(U)=3\) y si \(a=2\) el rango es dos y \(\dim(U)=2\).
Probar que cuando \(a=2\) se tiene que \(U \subseteq W\).
Hemos visto que para \(a=2\) la dimensión de \(U\) es dos y por tanto los dos primeros vectores son base de \(U\), además cada uno de ellos verifica la ecuación de \(W\):
\[
2\cdot 1-2-0=0
\]
\[
2\cdot 1-0-2=0,
\]
así que \(U\subseteq W\).
Calcular unas ecuaciones cartesianas de \(U \cap W\) para \(a\not = 2\).
Si \(a\not = 2\) la dimensión de \(U\) es tres y unas paramétricas son:
Se considera el subespacio \(U\) de \(\mathbb{R}^4\) con ecuaciones cartesianas \(AX=0\). Calcula la base más sencilla de \(U\) según los valores de \(a\).
Para el subespacio \(W\) de \(\mathbb{R}^4\) generado por las columnas de \(A\) calcula unas ecuaciones cartesianas según los valores de \(a\).
Calcula las dimensiones de \(U\cap W\) y \(U + W\) según los valores de \(a\).
Solución
Calcular la base más sencilla de \(U\) según los valores de \(a\).
Puesto que se trata del sistema \(AX=0\), podemos transformarlo en el sistema escalonado reducido equivalente utilizando operaciones elementales por filas sobre \(A\).
En primer lugar distinguimos el caso \(a=0\) en el que el elemento en la posición \((1,1)\) no es pivote:
Por tanto, \(\dim(U)=2\) y una base sería \(\{(1,-1,0,0),(1,0,1,0)\}\), realizando operaciones elementales nos queda que la base más sencilla es \(\{(1,0,1,0),(0,1,1,0)\}\).
Por tanto \(\dim(U)=1\) y la base más sencilla es \(\{(1,a,0,0)\}\).
Calcular unas ecuaciones cartesianas según los valores de \(a\).
Ya hemos visto que el rango de \(A\) depende de \(a\): es tres si \(a\not =-1\) y dos cuando \(a=-1\). Así que tenemos ya la dimensión de \(W\), que coincide con el rango de \(A\).
Calcular las dimensiones de \(U\cap W\) y \(U + W\) según los valores de \(a\).
Podemos calcular la dimensión de la suma y usar después la fórmula de las dimensiones para obtener la de la intersección. Para ello en cada caso reunimos bases de \(U\) y \(W\) y calculamos el rango de la matriz que forman, lo que nos da la dimensión de \(U+W\):
Así que usando \(\dim(U) +\dim(W)=\dim(U+W)+ \dim(U\cap W)\) obtenemos:
Si \(a=0\), \(\dim(U)=1\), \(\dim(W)=3\), \(\dim(U+W)=3\) y \(\dim(U\cap W)=1\).
Si \(a=-1\), \(\dim(U)=2\), \(\dim(W)=2\), \(\dim(U+W)=4\) y \(\dim(U\cap W)=0\).
Si \(a\not =0,-1\), \(\dim(U)=1\), \(\dim(W)=3\), \(\dim(U+W)=4\) y \(\dim(U\cap W)=0\).
Ejercicio 15 ¿Para qué valores de \(a\) son linealmente independientes los vectores \(\{ (1,1,1), (-1,2,a), (1, 4, a^2)\}?\)
Solución
Serán linealmente independientes cuando el rango de la matriz que forman sea 3, lo que ocurre en este caso cuando el determinante de la matriz que forman sea distinto de \(0\):
Así que son linealmente independientes para todos los valores reales excepto para \(a=2\) y \(a=-1\).
Ejercicio 16 En \(\mathbb{R}^{2}\) conocemos la base \(B=\{ (1,1),(2,-1)\}\) y que la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) es \(P=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2/3 & 1/3\\
\end{pmatrix}\). Calcula \(B'\).
Solución
Los vectores de \(B'\) escritos en la base canónica forman (por columnas) la matriz de cambio de base de \(B'\) a \(B_c\), así que calcularemos esta matriz para obtenerlos. Como la matriz de cambio de base de \(B'\) a \(B\) es la inversa de \(P\) y la de \(B\) a \(B_c\) es \(Q=\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 1 &-1\\
\end{pmatrix}\), entonces la matriz que buscamos es \(Q\cdot P^{-1}\). Calculamos \(P^{-1}\):
Ejercicio 17 En el espacio vectorial \(V\), \(B=\{ e_1,e_2\}\) es una base. Calcula las coordenadas respecto de la base \(B'=\{e_1+e_2, 2e_1-e_2\}\) del vector \(v=(1,-1)_{B}\).
Ejercicio 18 Calcular la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) siendo
\[
B=\{ (1,1), (-1,1)\}
\]
\[
B'=\{ (1,2), (-1,2)\}
\]
Solución
LLamemos \(P=\left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
\end{array} \right)\) a la matriz de cambio de base de \(B\) a la base canónica, y \(Q=\left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
2 & 2 \\
\end{array} \right)\) a la matriz de cambio de base de \(B'\) a la canónica. \[
B \longrightarrow^{P} B_c \longleftarrow^{Q} B'
\] entonces la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) será \(Q^{-1}\cdot P\).
Si \(a\not = 3\) entonces \(dim(U+W)=4\) y en consecuencia \(U+W=(\mathbb{Z}_5)^4\) y una base escalonada es la canónica: \(\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}\)
Además, en este caso, usando la fórmula de las dimensiones: \(dim(U\cap W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-4=0\), luego \(U\cap W=0\) y no tiene base (o tiene como base al conjunto vacío \(\emptyset\)).
Si \(a=3\), entonces obtenemos una base escalonada de \(U+W\):
se consideran los subespacios \(U\subseteq\mathbb{R}^4\) generado por las columnas de \(A\) y \(W\subseteq\mathbb{R}^4\) cuyas ecuaciones cartesianas son \(AX=0\).
Calcula las dimensiones de \(U\) y de \(W\) según los valores \(a\).
Calcula unas ecuaciones cartesianas de \(U\) según los valores de \(a\). Calcula las dimensiones de \(U\cap W\) y \(U+W\) según los valores de \(a\).
Solución
Puesto que \(U\) está generado por las columnas de \(A\), \(dim \, U=rg(A)\); y como las cartesianas de \(W\) vienen dadas por las filas de \(A\) entonces \(dim\, W=dim \, \mathbb{R}^4-\mbox{'nº cartesianas'}= 4-rg(A)\) es claro que tenemos que calcular \(rg(A)\) según los valores de \(a\). Para ello, como es cuadrada, calculamos en primer lugar el determinante:
para lo que hemos realizado operaciones elementales por filas de tipo 3 (\(F_3-F_1\rightarrow F_3\) y \(F_3-F_2\rightarrow F_3\)). Ahora desarrollamos por la tercera fila:
Así que \(rg(A)=2\) y la base más sencilla de \(U\) es \(\{ (1,0,1,2),(0,1,-1,-1)\}\).
\(rg(A)\)
\(dim\; U\)
\(dim\; W\)
\(a\not = 1,-1\)
4
4
0
\(a = 1\)
3
3
1
\(a = -1\)
2
2
2
Calculamos las cartesianas de \(U\) en cada caso:
\(\boxed{a\not = 1,-1}\): Como \(dim \, U=4\) entonces \(U=\mathbb{R}^{4}\) y no hay cartesianas (los vectores de \(\mathbb{R}^{4}\) no tienen que cumplir ninguna condición extra para pertenecer a \(U\)).
\(\boxed{a=1}\) Tenemos la base más sencilla que hemos calculado antes y, por tanto, unas paramétricas:
de las que obtenemos, eliminando parámetros, las cartesianas \(U\equiv \boxed{ \begin{array}{r} x-y-z=0\\ 2x-y-t=0\end{array} }\)
Para calcular \(dim\, U+W\) y \(dim\, U\cap W\) calularemos \(U\cap W\) (porque ya tenemos las cartesianas de \(U\) y las de \(W\), aunque estas últimas sin simplificar) y después usaremos la fórmula de las dimensiones.
\(\boxed{a\not = 1,-1}\) Como \(U=\mathbb{R}^4\) y \(W=\{0\}\), entonces \(U\cap W=\{0\}\).
\(\boxed{a = 1}\) Las filas de \(A\) son los coeficientes de las cartesianas de \(W\), le añadimos la fila de la cartesiana de \(U\):
\(dim\, U= dim \mathbb{R}^4-\mbox{'nº cartesianas'}=4-1=3\), así que una base está formada por 3 soluciones de la ecuación (en \(\mathbb{R}^4\), por tanto hay 4 incógnitas) que sean linealmente independientes, por ejemplo:
\[
\{(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,1)\}
\]
Para calcular la base más sencilla reducimos por columnas la matriz que forman estos vectores:
Si \(a\not= 0,1\) entonces aparecen 3 pivotes y por tanto los 3 vectores son linealmente independientes y \(dim\, U=3\). Estudiamos los casos particulares:
Así que para todo valor de \(a\) el sistema generador dado es base de \(U\). Para \(W\) observamos sus ecuaciones cartesianas y utilizamos que \[dim\, W= dim\, \mathbb{R}^4 -\mbox{nº cartesianas}\] pero observando que sea el número mínimo de cartesianas, así que reducimos la matriz de coeficientes del sistema:
que tiene rango 2 independientemente del valor de \(a\), así que \(dim\, W= dim\, \mathbb{R}^4 -2=2\). Además, de las cartesianas \(W\equiv \left\{ \begin{array}{rr}
x+ay-z&=0\\
&t=0
\end{array}\right.\) obtenemos unas paramétricas: \(W\equiv \left\{ \begin{array}{rl}
x=&-a\lambda_1+\lambda_2\\
y=&\lambda_1\\
z=&\lambda_2\\
t=&0\\
\end{array}\right.\) y una base de \(W\) es \(\{(-a,1,0,0),(1,0,1,0)\}\).
Como tenemos bases de ambos subespacios es más fácil calcular \(U+W\) para el que un sistema de generadores se obtiene reuniendo bases de ambos subespacios:
En este caso \(dim\, U+W=3\), y por tanto, como \(U\subseteq U+W\) y tienen la misma dimensión \(U+W=U\). Para calcular la \(dim\, U \cap W\) usamos la fórmula de las dimensiones y los resultados obtenidos:
\(dim\; U\)
\(dim\; W\)
\(dim\; U+W\)
\(dim\; U\cap W\)
\(a\not = 1\)
3
2
4
\(\boxed{1}\)
\(a = 1\)
3
2
3
\(\boxed{2}\)
Para \(a=1\) como \(U+W=U\) entonces \(U\cap W=W\) y una base ha sido obtenida en el primer apartado:
\[
\{ (-1,1,0,0),(1,0,1,0)\}
\]
Ejercicio 24 En \(\mathcal{P}^2(\mathbb{R})\), el espacio de los polinomios de grado menos o igual que 2 con coeficientes reales, se consideran los subespacios
Calcula dimensión, base y unas cartesianas (respecto de la base estándar \(B_s=\{1,x,x^2\}\)) de cada uno de ellos. Prueba que \(U_1\) y \(U_2\) son complementarios.
Solución
Como \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2=(a_0,a_1,a_2)_{B_s}\)
y \(xp'(x)=x(a_1+2a_2x)=a_1x+2a_2x^2=(0,a_1,2a_2)_{B_s}\) Entonces unas cartesianas de \(U_1\) son:
Calcula las dimensiones de \(U\) y de \(W\) según los valores \(a\).
Calcula la base más sencilla de \(W\) según los valores de \(a\).
Para \(a=1\) calcula \(U+W\) y \(U\cap W\).
Solución
Como de \(U\) tenemos unas ecuaciones cartesianas, utilizamos la fórmula \(dim\, U=dim\ \mathbb{R}^4 -\mbox{\it nº cart}\) por lo que necesitamos determinar el nº de cartesianas, es decir, el rango de la matriz de coeficientes del sistema:
que tiene rango 3 si \(a\not = -1\) y rango 2 si \(a=-1\). Para \(W\) estudiamos cuántos vectores del sistema de generadores son linealmente independientes, para lo que hay que calcular el rango de la matriz:
que es la traspuesta de la anterior. Por tanto se tiene
Si \(\boxed{a=-1}\)\(dim\, U= 2\) y \(dim\, W=2\).
Si \(\boxed{a\not=-1}\)\(dim\, U= 1\) y \(dim\, W=3\).
Realmente hay que calcular la forma de Hermite por columnas de la matriz formada por el sistema de generadores. Aprovechamos las operaciones elementales que hicimos en el apartado anterior:
Si \(\boxed{a=0}\) la base más sencilla es \(\{(1,0,1,0), (0,1,0,0),(0,0,0,1)\}\);
Si \(\boxed{a\not =-1,0}\) la base más sencilla es \(\{(1,0,0,(1-a)/a),(0,1,0,1),(0,0,1,-1/a)\}\).
Para \(a=1\) ya tenemos la base más sencilla de \(W\): \(\{(1,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)\}\). Podemos calcular unas cartesianas escribiendo primero unas paramétricas:
Caso 1. Si \(a\neq3\) entonces \(dim(U+W)=4\) y en consecuencia \(U+W=(\mathbb{Z}_5)^4\) y una base escalonada es la canónica: \(\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}\)
Además, en este caso, usando la fórmula de las dimensiones: \(dim(U\cap W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-4=0\), luego \(U\cap W=0\) y no tiene base (o tiene como base al conjunto vacío \(\emptyset\)).
Caso 2. Si \(a=3\), entonces obtenemos una base escalonada de \(U+W\):
que es \(\{ (1,0,4,0), (0,1,3,0), (0,0,0,1)\}\) y \(dim(U+W)=3\).
Usando la fórmula de las dimensiones, en este caso se tiene \(dim(U\cap W)= dim(U)+dim(W)-dim(U+W)=2+2-3=1\).
Para determinar la intersección, hemos de obtener unas ecuaciones cartesianas de \(U\) y de \(W\):
de la base escalonada de \(U\) obtenemos las ecuaciones paramétricas \[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x & = & \lambda \\
y & = & \mu \\
z & = & 4\lambda +3\mu\\
t & = & 0\\
\end{array}
\right.
\] y de aqui, por eliminación de parámetros, las ecuaciones cartesinas:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x +2y+z& = & 0 \\
t & = & 0\\
\end{array}
\right.
\] De igual manera, para \(W\): \[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x & = & \lambda \\
y & = & 4\lambda \\
z & = & \lambda\\
t & = & \mu\\
\end{array}
\right.
\]
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x +4z& = & 0 \\
y+z & = & 0\\
\end{array}
\right.
\] Unimos ambas cartesianas y escalonamos el sistema resultante:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x +2y+z& = & 0 \\
t & = & 0\\
x +4z& = & 0 \\
y+z & = & 0\\
\end{array}
\right.
\]
Unas ecuaciones cartesianas de \(U\cap W\) son: \[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x +4z& = & 0 \\
y+z & = & 0\\
t & = & 0\\
\end{array}
\right.
\]
Pasamos a paramétricas resolviendo el sistema:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x & = & \lambda \\
y & = & 4\lambda\\
z & = & \lambda\\
t & = & 0\\
\end{array}
\right.
\] y finalmente, obtenemos la base de \(U\cap W\): \(\{ (1,4,1,0)\}\)
Ejercicio 27 En el espacio vectorial \(V\), \(B=\{ e_1,e_2\}\) es una base. Calcula las coordenadas respecto de la base \(B'=\{e_1+e_2, 2e_1-e_2\}\) del vector \(v=(1,-1)_{B}\).
Comprobar que \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})= U\oplus W\).
Descomponer el vector \(3x^3+x-2\) como suma de un vector en \(U\) y otro en \(W\).
Solución
Comprobar que \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})= U\oplus W\).
Los polinomios que cumplen la condición de \(U\) son los polinomios pares, es decir, aquellos en los que solo aparecen las potencias pares de la indeterminada, y los que pertenecen a \(W\) son los impares. Podemos realizar estas operaciones sin más que usar las coordenadas respecto de la base estándar \(B_s=\{1,x,x^2,x^3\}\):
nos da que las cartesianas de \(W\) son \(\left\{\begin{array}{l}
a_0=0,\\
a_2=0.
\end{array}\right.\) Y una base \(\{x,x^3\}\).
Así que un sistema de generadores de \(U+W\) es \(\{1,x,x^2,x^3\}\) con lo que \(U+W=\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\), y además de que porque estos polinomios son linealmente independientes, se puede razonar con la fórmula de las dimensiones que \(U\cap W=0\), con lo que se obtiene \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})= U\oplus W\).
Descomponer el vector \(3x^3+x-2\) como suma de un vector en \(U\) y otro en \(W\).
Es inmediato que
\[
3x^3+x-2= (-2) + (x+3x^3)
\]
y el primer polinomio está en \(U\) y el segundo en \(W\).