Otros

Ejercicio 1 Dada la matriz

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \hspace{1em} \mbox{ con } a\not = 0. \]

1. Calcula los valores propios y sus multiplicidades algebraicas en todos los casos posibles.
2. ¿Para qué valores de \(a\) es diagonalizable?
3. Para el caso \(a=1\) comprueba que es diagonalizable por semejanza ortogonal y calcula \(D\) diagonal y \(P\) ortogonal (esto es, \(P^t=P^{-1}\)) tal que \(D=P^tAP\).

Solución

1. Calcular los valores propios y sus multiplicidades algebraicas.

   Calculamos los valores propios en función de \(a\):

   \[ |A-\lambda I|=\left| \begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 1\\ 0 & a-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{array}\right|= (a-\lambda)\left| \begin{array}{cc} -\lambda & 1\\ 1 & -\lambda \end{array}\right|=(a-\lambda)(\lambda^2-1)=(a-\lambda)(\lambda-1)(\lambda +1). \]

   Así que cuando \(a\not = \pm 1\) entonces hay tres valores propios distintos con multiplicidad algebraica 1. Pero si \(a=1\) entonces hay dos valores propios, \(\lambda=1\) con multiplicidad algebraica dos y \(\lambda=-1\) con multiplicidad algebraica uno; y si \(a=-1\) entonces hay dos valores propios, \(\lambda=-1\) con multiplicidad algebraica dos y \(\lambda=1\) con multiplicidad algebraica uno.

2. ¿Para qué valores de \(a\) es diagonalizable?

   Siempre es diagonalizable puesto que es simétrica.

3. Comprobar que es diagonalizable por semejanza ortogonal y calcular \(D\) diagonal y \(P\) ortogonal.

   Como es simétrica es diagonalizable por semejanza ortogonal (Teorema espectral). Para \(a=1\) ya tenemos los valores propios: \(\lambda=1\) con multiplicidad algebraica dos y \(\lambda=-1\) con multiplicidad algebraica uno, y nos queda calcular las bases ortonormales (para que \(P\) sea ortogonal) de cada uno de los subespacios propios:

   \(V_{1}\)

   \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \]

   nos da la ecuación \(x-z=0\) y una base es \(\{(1,0,1),(0,1,0)\}\) que es ortogonal, así que los dividimos por su norma: \(\{(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2}),(0,1,0)\}\).

   \(V_{-1}\)

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \]

   nos da las ecuaciones \(x+z=0; y=0\) y una base es \(\{(1,0,-1)\}\) que es ortogonal, así que lo dividimos por su norma: \(\{(1/\sqrt{2},0,-1/\sqrt{2})\}\).

   Tenemos entonces

   \[ D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\hspace{2cm} P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}. \]

Ejercicio 2  

1. Calcula la matriz de Gram del producto escalar en el espacio de las matrices simétricas de orden dos dado por la fórmula:

   \[ \langle A,B\rangle=\operatorname{traza}(AB) \]

   respecto de la base \(B= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}\).
2. En \(\mathbb{R}^2\) conocemos la base \(B=\{ (1,1),(2,-1)\}\) y que la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) es \(P=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2/3 & 1/3\\ \end{pmatrix}\). Calcula \(B'\).
3. Calcula la signatura de la matriz \(A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & b& 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) según los valores de \(b\).
4. De una aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}\) se conoce que es sobreyectiva. ¿Puedes deducir algo sobre los valores de \(n\) y \(m\)?

Solución

1. Calcula la matriz de Gram.

   Para obtener la matriz de Gram calculamos el producto de cada dos matrices de la base:

   \[ \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\rangle=\operatorname{traza}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)=\operatorname{traza}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)=1, \]

   \[\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\rangle=\operatorname{traza}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)=\operatorname{traza}\left( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)=0, \]

   del mismo modo se obtienen los productos restantes y se obtiene

   \[ G=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. \]

2. Calcula \(B'\).

   Los vectores de \(B'\) escritos en la base canónica forman la matriz de cambio de base de \(B'\) a \(Bc\), así que calcularemos esta matriz para obtenerlos. Como la matriz de cambio de base de \(B'\) a \(B\) es la inversa de \(P\) y la de \(B\) a \(B_c\) es \(Q=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 &-1\\ \end{pmatrix}\), entonces la matriz que buscamos es \(Q\cdot P^{-1}\). Calculamos \(P^{-1}\):

   \[ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 2/3 & 1/3 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2/3 & 1 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{cc|cc} 1 &0 & -1/3 & 2\\ 0 & 1 & 2/3 & -1 \end{array}\right). \]

   Comprobemos el resultado obtenido con sage.

   \[ Q\cdot P{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1/3 & 2\\ 2/3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \]

   luego \(B'=\{ (1,-1), (0,3)\}\).

3. Calcular la signatura de la matriz \(A\).

   Para obtener su signatura debemos diagonalizarla, bien por congruencia o por semejanza ortogonal. Como es idéntica a la del problema 4 tenemos que sus valores propios son \(1,-1\) y \(b\), así que la signatura será:

   \[ \begin{array}{lr} \operatorname{sig}(A)=(2,1) & \mbox{ si }b>0,\\ \operatorname{sig}(A)=(1,1) & \mbox{ si }b=0,\\ \operatorname{sig}(A)=(1,2) & \mbox{ si }b<0.\\ \end{array} \]

4. ¿Puedes deducir algo sobre los valores de \(n\) y \(m\)?

   Como es sobreyectiva \(\dim(\operatorname{Im}(f))=m\) y por la fórmula de las dimensiones

   \[ \dim(\operatorname{ker}(f))+ \dim(\operatorname{Im}(f))=\dim(\mathbb{R}^{n})=n.\] Así que \(n=a+m\) siendo \(a=\dim(\operatorname{ker}(f))\). Por tanto \[n\geq m. \]

Ejercicio 3 Dada la matriz

\[ A=\left( \begin{array}{cccc} -1 & -2 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ -2 & -2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \]

1. Calcula los valores propios y sus multiplicidades algebraicas.
2. Estudia si es diagonalizable y en caso afirmativo determinar su forma diagonal, \(D\), y una matriz de paso, \(P\), verificando que \(D=P^{-1}AP\).
3. Razona si \(A\) es o no diagonalizable por semejanza ortogonal.

Solución

1. Calcular los valores propios y sus multiplicidades algebraicas.

   Calculamos el polinomio característico:

   \[ \begin{align*} |A-\lambda I|=& \left| \begin{array}{cccc} -1-\lambda & -2 & 3 & 2\\ 0 & 1-\lambda & 0 & 1\\ -2 & -2 & 4-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2-\lambda \end{array}\right|= (2-\lambda)\left| \begin{array}{ccc} -1-\lambda & -2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ -2 & -2 & 4-\lambda \\ \end{array}\right|=(2-\lambda)(1-\lambda)\left| \begin{array}{cc} -1-\lambda & 3 \\ -2 & 4-\lambda \\ \end{array}\right| \\ =&(2-\lambda)(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda +2)=(2-\lambda)^2(1-\lambda)^2 \end{align*} \]

   Así que hay dos valores propios \(\lambda=1\) y \(\lambda=2\), ambos con multiplicidad algebraica dos.

2. Estudiar si es diagonalizable y en caso afirmativo determinar su forma diagonal, \(D\), y una matriz de paso, \(P\).

   Para comprobar que es diagonalizable debemos calcular las multiplicidades geométricas, es decir, las dimensiones de los correspondientes subespacios propios:

   \(V_{1}\) tiene cartesianas dadas por las filas de

   \[ A-1\cdot I=\left( \begin{array}{cccc} -2 & -2 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ -2 & -2 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\sim_f \left( \begin{array}{cccc} -2 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right). \]

   Comprobemos el resultado obtenido con sage.

   Como hay dos ecuaciones, \(\dim(V_{1})=4-2=2\), unas cartesianas son

   \[ V_{1}\equiv \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y-3z=0,\\ t=0. \end{array}\right. \]

   Y una base es por ejemplo \(\{ (1,-1,0,0),(3,0,2,0)\}\).

   \(V_{2}\) tiene cartesianas dadas por las filas de

   \[ A-2\cdot I=\left( \begin{array}{cccc} -3 & -2 & 3 & 2\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -2 & -2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\sim_f \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\sim_f \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right). \]

   Comprobemos el resultado obtenido con sage.

   Como hay dos ecuaciones, \(\dim(V_{2})=4-2=2\), unas cartesianas son

   \[ V_{2}\equiv \left\{ \begin{array}{l} x-z=0,\\ y-t=0. \end{array}\right. \]

   Y una base es por ejemplo \(\{ (1,0,1,0),(0,1,0,1)\}\).

   Así concluimos que ambos valores propios tienen multiplicidad geométrica dos, y como coincide con sus multiplicidades algebraicas respectivas la matriz sí es diagonalizable.

   \[ D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \hspace{1em} P=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

3. Razonar si \(A\) es o no diagonalizable por semejanza ortogonal.

   La matriz no es diagonalizable por semejanza ortogonal porque no es simétrica.

Ejercicio 4  

1. Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), dar matrices regulares \(P\) y \(Q\) de forma que \(Q\cdot A \cdot P = B\).
2. Determinar las coordenadas del vector \(p(x)=1+x+x^2\) de \(\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\) respecto de la base \(B'=\{1, 1-x, 1-x^2 \}\).

3. Razonar que la aplicación \(G: \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) definida por:

   \[ G\left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a\cdot b & 0 \\ c & d \end{pmatrix} \]

   no es lineal.

4. Calcular la signatura de la matriz simétrica

   \[ C=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

Solución

1. Dar matrices regulares \(P\) y \(Q\) de forma que \(Q\cdot A \cdot P = B\).

   \[ \left(\begin{array}{rcl} A&|&I\\ \hline I &| \\ \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ll|ll} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & & \\ 0 & 1 & & \\ \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{ll|ll} 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & & \\ 0 & 1 & & \\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{ll|ll} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & & \\ \end{array}\right), \]

   luego

   \[ Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \mbox{ y } P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

2. Determinar las coordenadas del vector \(p(x)\) respecto de la base \(B'\).

   Si denotamos \(1+x+x^2=(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3)_{B'}\), tenemos:

   \[ 1+x+x^2=\alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot (1-x)+\alpha_3 \cdot (1-x^2) = (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) \cdot 1 - \alpha_2 \cdot x - \alpha_ 3 \cdot x^2, \]

   y resolviendo \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1\), \(-\alpha_2=1\), \(-\alpha_3=1\), nos queda que

   \[ 1+x+x^2=(3,-1,-1)_{B'}. \]

   Alternativamente, la matriz del cambio de \(B'\) a \(B_s\) es \(P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}\), luego la matriz del cambio de \(B_s\) a \(B'\) es

   \[ P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}. \]

   Puesto que \(1+x+x^2=(1,1,1)_{B_s}\) obtenemos:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

3. Razonar que la aplicación \(G\) no es lineal.

   Calculamos

   \[ G\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, G\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

   Sin embargo la imagen de la suma de estas matrices es

   \[ G\left(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\not = G\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)+G\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right). \]

4. Calcular la signatura de C.

   Diagonalizamos por congruencia

   \[ C=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -\frac{3}{10} \end{pmatrix}, \]

   por lo que \(\operatorname{sig}(C)=(1,1)\).

Ejercicio 5  

1. De una aplicación lineal \(f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{4}\) se sabe que \(f(5,1,1)=f(1,5,1)=f(1,1,5)=(5,5,5,5)\). Determinar bases del núcleo y la imagen de \(f\).
2. Dar bases \(B\) de \(\mathbb{R}^{3}\) y \(B'\) de \(\mathbb{R}^{4}\) de forma que \(\mathcal{M}_{B B'}(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\).

3. Determinar, en función de \(b\) la signatura de la forma cuadrática

   \[ \phi(x,y)= x^2+ y^2 + 2b x y. \]

Solución

1. Determinar bases del núcleo y la imagen de \(f\).

   La imagen de \(f\) está generada por \(\{(5,5,5,5)\}\) así que este vector es una base, o también \(\{(1,1,1,1)\}\), que por tanto tiene dimensión uno.

   Como \(f(5,1,1)-f(1,5,1)=f(4,-4,0)=(0,0,0,0)\) y \(f(5,1,1)-f(1,1,5)=f(4,0,-4)=(0,0,0,0)\) entonces \(\{(4,-4,0),(4,0,-4)\}\) es una base del núcleo (que tiene dimensión dos).

2. Dar bases \(B\) y \(B'\).

   Hay muchas soluciones, las condiciones son: la imagen del primer vector de \(B\) es el primer vector de \(B'\), los otros dos vectores de \(B\) deben estar en el núcleo.

3. Determinar, en función de \(b\) la signatura de la forma cuadrática \(\phi\).

   La matriz asociada a la forma cuadrática es

   \[ A=\begin{pmatrix} 1 & b\\ b & 1 \end{pmatrix}. \]

   Diagonalizando por congruencia

   \[ \begin{pmatrix} 1 & b\\ b & 1 \end{pmatrix}\sim_f\begin{pmatrix} 1 & b\\ 0 & 1-b^2 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1-b^2 \end{pmatrix}. \]

   Como el segundo elemento de la diagonal se anula en \(b=1\) y \(b=-1\) la distinción de casos queda:

   Si \(b=\pm 1\) entonces \(\operatorname{sig}(A)=(1,0)\).

   Si \(-1<b<1\) entonces \(\operatorname{sig}(A)=(2,0)\).

   Si \(b<-1\) o $ b>1$ entonces \(\operatorname{sig}(A)=(1,1)\).

Ejercicio 6 Dadas las matrices

\[ A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right),\hspace{2cm} B= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \]

1. ¿Existen \(P, Q\) matrices regulares tales que \(Q^{-1}AP=B\)?
2. ¿Existe \(P\) regular tal que \(AP=B\)?
3. ¿Existe \(P\) regular tal que \(PA=B\)?
4. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=B\)?

Solución

1. ¿Existen \(P, Q\) matrices regulares tales que \(Q^{-1}AP=B\)?

   La pregunta es si las matrices son equivalentes, y esto ocurre si, y solo si, tienen el mismo rango. Es inmediato ver que ambas tienen rango 2, por tanto la respuesta es afirmativa.

2. ¿Existe \(P\) regular tal que \(AP=B\)?

   En este caso nos preguntan si son equivalentes por columnas, si, y solo si, tienen la misma forma de Hermite por columnas. Calculamos en ambos casos:

   \[ A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), \]

   \[ B= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right), \]

   y como no son iguales la respuesta es negativa.

3. ¿Existe \(P\) regular tal que \(PA=B\)?

   Ahora nos preguntan si son equivalentes por filas, para lo que calculamos sus formas de Hermite por filas y las comparamos:

   \[ A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \]

   \[ B= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\sim_f \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \]

   como son iguales entonces la respuesta es afirmativa.

4. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=B\)?

   Si calculamos los valores propios de ambas:

   \[ |A-\lambda I|= \left|\begin{array}{rrr} 1- \lambda & 1 & 0\\ 0 & -\lambda & 0\\ 0 & 1 & -\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)(-\lambda)^2. \]

   Pero el valor propio \(\lambda=0\) tiene multiplicidad geométrica uno, luego no es diagonalizable.

   \[ |B-\lambda I|= \left|\begin{array}{rrr} 1-\lambda & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & 0\\ 1 & 1 & -\lambda \end{array}\right|=(-\lambda)(\lambda^2-\lambda-1), \]

   en este caso aparecen tres valores propios distintos \(\{0, \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\}\) y por tanto la matriz sí es diagonalizable. Entonces no puede existir una tal \(P\), puesto que ello implicaría que \(A\) sería también diagonalizable. También es suficiente comprobar que los valores propios son distintos y que \(B\) es diagonalizable.

Ejercicio 7 Dada la matriz \[ A= \left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right). \]

1. ¿Existen \(P, Q\) matrices regulares tales que \(Q^{-1}AP=I_3\)?
2. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=I_3\)?
3. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{t}AP=I_3\)?

Solución

1. ¿Existen \(P, Q\) matrices regulares tales que \(Q^{-1}AP=I_3\)?

   Existen \(Q , P\) regulares si \(A\) e \(I\) son equivalentes, esto es, si tienen el mismo rango. Calculamos el rango de \(A\). Calculamos el determinante de \(A\) desarrolando por el elemento 22,

   \[ \det(A)=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{array} \right| =-6\neq 0. \]

   Por lo tanto el rango es tres, al igual que el de \(I_3\). Las matrices son equivalentes y por lo tanto existen \(P\) y \(Q\) regulares tales que \(Q^{-1}AP=I_3\).

2. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=I_3\)?

   Que exista la matriz \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=I_3\) equivale a decir que \(A\) es diagonalizable por semejanza y su forma diagonal es \(I_3\).

   Calculamos los valores propios de \(A\):

   \[ \left| \begin{array}{ccc} 2-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -1-\lambda \\ \end{array} \right|= (1-\lambda) \left| \begin{array}{cc} 2 -\lambda& 2 \\ 2 & -1-\lambda \\ \end{array} \right|= (1-\lambda)(-(2-\lambda)(1+\lambda)-4)=(1-\lambda)(2+\lambda)(3-\lambda). \]

   Como los valores propios de \(A\) son 1, -2 y 3, su forma diagonal (si fuera diagonalizable) no puede ser \(I_3\), por lo tanto, no existe \(P\) regular tal que \(P^{-1}AP=I_3\)

3. ¿Existe \(P\) regular tal que \(P^{t}AP=I_3\)?

   Si existiera una matriz \(P\) cumpliendo la igualdad, estaríamos diciendo que \(A\) es congruente con \(I_3\) y por tanto su signatura sería \((3,0)\), pero como los valores propios son 1, -2 y 3, su signatura es \((2,1)\), y por tanto no existe dicha matriz \(P.\)

Ejercicio 8 Dada la matriz:

\[ A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ a & 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 & a \\ a & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

1. Estudiar para qué valores del parámetro \(a\) es \(A\) diagonalizable.
2. Para el valor \(a=0\) la matriz \(A\) es simétrica, determinar su forma diagonal \(D\) así como una matriz ortogonal \(P\) de forma que \(D=P^{-1}\cdot A\cdot P=P^{t}\cdot A\cdot P\). ¿Cuál es la signatura de \(A\)?

Solución

1. Estudiar para qué valores del parámetro \(a\) es \(A\) diagonalizable.

   Calculamos los valores propios y sus multiplicidades algebraicas:

   \[ \begin{align*} |A-\lambda I|&=\left|\begin{array}{cccc} a-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ a & 2-\lambda & 2 & a \\ a & 2 & 2-\lambda & a \\ a & 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|=(a-\lambda)(-\lambda)\left|\begin{array}{cc} 2-\lambda & 2\\ 2 & 2-\lambda \end{array}\right|\\ &= (a-\lambda)(-\lambda)((2-\lambda)^2-4)=(a-\lambda)(-\lambda)(\lambda^2-4\lambda)=(a-\lambda)(-\lambda)^2(\lambda-4). \end{align*} \]

   Caso \(a\not \in\{0,4\}\)

   En este caso tenemos que para \(\lambda=4\) o \(\lambda=a\) ambas multiplicidades algebraicas y geométricas son 1 mientras que para \(\lambda=0\) la multiplicidad algebraica es 2 y habría que estudiar la geométrica:

   \[ A-0\cdot I=\begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ a & 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 & a \\ a & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & a \\ 0 & 2 & 2 & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \]

   que tiene rango 2 (\(a\not = 0\)) y por tanto \(m_g=\dim(V_{0})=4-2=2\). Así que en este caso la matriz es diagonalizable.

   Caso \(a=0\)

   En este caso la matriz es simétrica, y por tanto diagonalizable.

   Caso \(a=4\)

   Ahora tenemos que para \(\lambda=0\) tanto su multiplicidad algebraica como geométrica es 2 (ha sido calculada cuando \(a\not = 0\) en el primer caso) y para \(\lambda=0\) la multiplicidad algebraica es 2 y debemos calcular la geométrica.

   \[ A-4\cdot I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & -2 & 4 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

   tiene rango 3, así que \(m_g=\dim(V_{4})=4-3=1\). En este caso la matriz no es diagonalizable.

2. Para \(a=0\) determinar su forma diagonal \(D\) así como una matriz ortogonal \(P\) de forma que \(D=P^{-1}\cdot A\cdot P=P^{t}\cdot A\cdot P\). ¿Cuál es la signatura de \(A\)?

   Como tenemos calculados los valores propios y en este caso son \(\lambda=0\), con multiplicidad algebraica \(3\) y \(\lambda=4,\), con multiplicidad algebraica \(1\) entonces la signatura es \((1,0)\).

   Para calcular la matriz ortogonal \(P\) diagonalizamos por semejanza ortogonal:

   \[ A-0\cdot I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \]

   y por tanto una base de \(V_{0}\) es \(\{(1,0,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,1)\}\) que ya es ortogonal.

   \[ A-4\cdot I=\begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \]

   y por tanto una base de \(V_{4}\) es \(\{(0,1,1,0)\}\) que es obviamente ortogonal.

   Así, una base ortonormal de \(\mathbb{R}^{4}\) es

   \[ \{(1,0,0,0),(0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0),(0,0,0,1),(0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)\}, \]

   y por tanto

   \[ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{1em } D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. \]

Ejercicio 9  

1. En \(\mathbb{R}^{8}\) consideramos dos subespacios \(U\) y \(W\), ambos de dimensión 5, ¿puede ser \(U\cap W=0\)? ¿Por qué?

2. Para la siguiente matriz determinar su signatura en función de \(a\):

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a\\ 0 & a & 0 \end{pmatrix}. \]

Solución

1. En \(\mathbb{R}^{8}\) consideramos dos subespacios \(U\) y \(W\), ambos de dimensión 5, ¿puede ser \(U\cap W=0\)? ¿Por qué?

   No puede ocurrir por la fórmula de las dimensiones:

   \[ \dim(U) + \dim(W)= \dim(U+W) + \dim(U\cap W), \]

   así

   \[ 5 + 5 = \dim(U+W) + 0, \]

   y por tanto debería ser \(\dim(U+W)=10\), lo que es imposible porque debe estar contenido en \(\mathbb{R}^{8}\) por lo que su dimensión es menor o igual que \(8\).

2. Determinar la signatura en función de \(a\).

   Pueden calcularse los valores propios:

   \[ \left| \begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & 0\\ 0 &-\lambda & a\\ 0 & a & -\lambda \end{array}\right|= (1-\lambda)(\lambda^2 -a^2)=(1-\lambda)(\lambda -a)(\lambda +a). \]

   Así los valores propios son \(1, a, -a\) y la signatura es \((1,0)\) si \(a=0\) y \((2,1)\) si \(a\not =0\).

Ejercicio 10 En el espacio vectorial \(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\) de los polinomios de grado menor o igual que \(4\) se consideran los subespacios:

\[ U=L(1+x^2, 1+x+x^2+x^3),\,\,\,\,\, W=L(1+x^4,x^2, 1+x+x^2). \]

Y consideramos el producto escalar dado por:

\[ \langle p(x),q(x)\rangle=\int_{-1}^{1} p(x)\cdot q(x) dx. \]

1. Determinar bases de \(U+W\) y \(U\cap W\).
2. Calcular una base ortogonal de \(U\).
3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \(p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4\).

Solución

En todo el ejercicio usaremos coordenadas respecto de la base estándar \(B=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}\).

1. Determinar bases de \(U+W\) y \(U\cap W\).

   En primer lugar calculamos las bases más sencillas de ambos subespacios: \[ UP=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 1\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \]

   \[ WP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \]

   y reuniendo ambas obtenemos un sistema de generadores de \(U+W\):

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 &1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1\\ 1 & 0 &0 & 1 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \sim_c \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \]

   con lo que obtenemos que \(U+W= \mathcal{P}_4(\mathbb{R})\) y una base es, por ejemplo, la base estándar \(B\). Usando la fórmula de las dimensiones

   \[ \dim(U)+ \dim(W) = \dim(U+W) + \dim(U \cap W), \]

   obtenemos que \(\dim(U \cap W)=0\) y por tanto \(U\cap W=0\) que no tiene base.

2. Calcular una base ortogonal de \(U\).

   Si calculamos la matriz de Gram de este producto escalar respecto de la base estándar \(B\), obtenemos la matriz

   \[ G=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2/3 & 0 & 2/5\\ 0 & 2/3 & 0 & 2/5 & 0\\ 2/3 & 0 & 2/5 & 0 & 2/7\\ 0 & 2/5 & 0 & 2/7 & 0\\ 2/5 & 0 & 2/7 & 0 & 2/9 \end{pmatrix}, \]

   puesto que \(\langle x^n,x^m\rangle=\int_{-1}^{1} x^{n+m}\cdot q(x) dx= \left. \frac{x^{n+m+1}}{n+m+1}\right]_{-1}^{1}\), que es \(0\) cuando \(n+m+1\) es par y \(\frac{2}{n+m+1}\) en otro caso.

   Para la base más sencilla de \(U\) obtenida en el apartado anterior se tiene que

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} G \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0, \]

   con lo que dicha base es ortogonal.

3. Determinar la proyección sobre \(U\) del vector \(p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4\).

   Para calcular la proyección usaremos la fórmula que hace uso de los coeficientes de Fourier respecto de la base ortogonal de \(U\) obtenida en el apartado anterior: \(\{u_1=(1,0,1,0,0)_B, u_2=(0,1,0,1,0)_B\}.\)

   \[ p_U (v)= \frac{\langle v,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1+ \frac{\langle v,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2, \]

   Haciendo uso de la matriz de Gram calculada en el apartado anterior tenemos:

   \[ \begin{array}{l} \langle v,u_1\rangle=464/105,\\ \langle v,u_2\rangle=184/105,\\ \langle u_1,u_1\rangle= 56/15,\\ \langle u_2,u_2\rangle= 184/105,\\ \end{array} \]

   y por tanto

   \[ p_U(v)= (58/49,1,58/49,1,0)_B. \]

Ejercicio 11  

1. Probar que si \(V\) es un espacio vectorial de dimensión \(n\), y \(U\) y \(W\) son dos subespacios distintos de \(V\), ambos de dimensión \(n-1\), entonces \(\dim(U\cap W)=n-2\).
2. De un endomorfismo \(f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3\) se sabe que \(f(1,2,3)=(1,2,3)\), \(f(0,1,2)=(1,2,3)\) y \(\dim(\operatorname{Im}(f))=2\). Determinar una base de \(\operatorname{ker}(f)\).

3. Calcular la signatura de la matriz simétrica:

   \[ A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}. \]

Solución

1. Probar que si \(V\) es un espacio vectorial de dimensión \(n\), y \(U\) y \(W\) son dos subespacios distintos de \(V\), ambos de dimensión \(n-1\), entonces \(\dim(U\cap W)=n-2\).

   Si los dos subespacios son distintos, entonces \(\dim(U+W) > \dim(U) =n-1\) y como no puede ser mayor (porque estamos en un espacio vectorial de dimensión \(n\)), entonces \(\dim(U+W) =n\). Usando la fórmula de las dimensiones se tiene

   \[ \dim(U) + \dim(W) = \dim(U+W) +\dim(U\cap W), \]

   \[ n-1 + n-1 = n + (n-2), \] es decir, la única solución es \(\dim(U\cap W)= n-2\).

2. De un endomorfismo \(f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3\) se sabe que \(f(1,2,3)=(1,2,3)\), \(f(0,1,2)=(1,2,3)\) y \(\dim(\operatorname{Im}(f))=2\). Determinar una base de \(\operatorname{ker}(f)\).

   Usando la fórmula de las dimensiones para aplicaciones lineales se tiene que la dimensión de \(\operatorname{ker}=1\) (puesto que \(\dim(\operatorname{ker}(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f))= 3\)) y basta con encontrar un vector no nulo cuya imagen valga \((0,0,0)\). Pero es evidente de los datos que

   \[ f(1,1,1)=f(1,2,3)-f(0,1,2)=(0,0,0), \]

   así que \((1,1,1)\in \operatorname{ker}(f)\) y así tenemos una base \(\{(1,1,1)\}\).

3. Calcular la signatura de la matriz simétrica \(A\).

   Diagonalizamos por congruencia:

   \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\sim_c \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\sim_f \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}\sim_C \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}. \]

   Así que en la diagonal hay dos elementos positivos y uno negativo, es decir, \(\operatorname{sig}(A)=(2,1)\).

Ejercicio 12  

1. Razonar que si \(A\) es una matriz cualquiera de orden \(m\times n\), la matriz \(A^{t} \cdot A\) es cuadrada y simétrica.
2. Calcular la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) siendo \(B=\{ (1,1), (-1,1)\}\) y \(B'=\{ (1,2), (-1,2)\}\).
3. Si \(A\) es una matriz cuadrada con un único autovalor \(\lambda_1=1\) y se sabe que \(A\) es diagonalizable ¿qué se puede decir de \(A\)?
4. Calcular la signatura de \(A= \left( \begin{array}{rr} a & 1 \\ 1 & -a \\ \end{array} \right)\) en función del parámetro \(a\).

Solución

1. Razonar que si \(A\) es una matriz cualquiera de orden \(m\times n\), la matriz $A^{t} A $ es cuadrada y simétrica.

   Si \(A\) tiene orden \(n \times m\) entonces el producto \(A^t \cdot A\) es de orden \(m \times m\).

   Para comprobar que es simétrica calculamos su traspuesta:

   \[ (A^t \cdot A)^t = A^t \cdot (A^t)^t = A^t \cdot A, \]

   y como efectivamente coincide con ella, se tiene el resultado.

2. Calcular la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\).

   LLamemos \(P=\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)\) que es la matriz de cambio de base de \(B\) a la base canónica, y
   \(Q=\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\ \end{array} \right)\) que es la matriz de cambio de base de \(B'\) a la canónica. \[B \longrightarrow^{P} B_c \longleftarrow^{Q} B',\] entonces la matriz de cambio de base de \(B\) a \(B'\) es \(Q^{-1}\cdot P\).

   Calculamos \(Q^{-1}\):

   \[ \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & -1& 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1\\ \end{array} \right)\sim_{f} \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 4 & -2 & 1\\ \end{array} \right) \sim_{f} \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & -1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2/4 & 1/4\\ \end{array} \right) \sim_{f} \left( \begin{array}{rr|rr} 1 & 0& 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1 & -1/2 & 1/4\\ \end{array} \right). \]

   Comprobemos el resultado obtenido con sage.

   Así

   \[ Q^{-1} \cdot P= \left( \begin{array}{rr} 1/2 & 1/4 \\ -1/2 & 1/4\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} 3/4 & -1/4 \\ -1/4 & 3/4 \\ \end{array} \right). \]

3. Si \(A\) es una matriz cuadrada con un único autovalor \(\lambda_1=1\) y se sabe que \(A\) es diagonalizable ¿qué se puede decir de \(A\)?

   Si \(A\) es de orden digamos \(n\), tiene como único valor propio \(\lambda=1\) y es diagonalizable, entonces la multiplicidad algebraica y geométrica de \(\lambda=1\) es \(n\), y por tanto \(\dim(V_{ 1}) = n - \operatorname{rg}(A-I) = n\), es decir, \(\operatorname{rg}(A-I)=0\) lo que indica que \(A-I=0\) y por tanto \(A\) es la matriz identidad.

4. Calcular la signatura de \(A\) en función del parámetro \(a\). Diagonalizamos por congruencia la matriz:

   \[ \left( \begin{array}{rr} a & 1 \\ 1 & -a \\ \end{array} \right), \]

   pero para elegir el elemento en la posición \((1,1)\) como pivote necesitamos que sea \(a\not = 0\), caso que estudiaremos aparte.

   \[ \left( \begin{array}{rr} a & 1 \\ 1 & -a \\ \end{array} \right) \sim_{f} \left( \begin{array}{rr} a & 1 \\ 0 & -2a \\ \end{array} \right)\sim_{c} \left( \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & -2a \\ \end{array} \right), \]

   que tiene signatura \((1,1)\).

   Ahora, para \(a=0\)

   \[ \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \sim_{f} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\sim_{c} \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \sim_{f} \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & -1/2 \\ \end{array} \right)\sim_{c} \left( \begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1/2 \\ \end{array} \right), \]

   con lo cual, en todos los casos \(\operatorname{sig}(A)=(1,1)\).

   También puede hacerse calculando los valores propios de la matriz:

   \[ \left| \begin{array}{rr} a-\lambda & 1 \\ 1 & -a-\lambda \\ \end{array} \right|= (a-\lambda)(-a-\lambda)-1= \lambda^2 -1=0, \]

   que nos da como valores propios \(\lambda=1\) y \(\lambda=-1\), con lo que se tiene de nuevo \(\operatorname{sig}(A)=(1,1)\).

Ejercicio 13 En el espacio vectorial \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) se consideran los subespacios

\[ U=\mathcal{L}\left( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0& 1 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & a \\ \end{array} \right) \right), \]

\[ W=\mathcal{L}\left( \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \right), \]

y el producto escalar dado por

\[ \langle A,B\rangle=\operatorname{traza}(AB^t). \]

1. Calcula la base más sencilla de \(U+W\) para todos los valores de \(a\).
2. Calcula unas ecuaciones cartesianas de \(U\cap W\) para todos los valores de \(a\).
3. ¿Son \(U\) y \(W\) complementarios para \(a=1\)?
4. Calcula una base ortogonal de \(U\) para \(a=1\).
5. Calcula una base del subespacio ortogonal a \(W\) para \(a=1\).
6. Calcula la proyección ortogonal sobre \(W\) de la matriz \(A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ \end{array} \right)\) para \(a=1\).

Solución

1. Calcula la base más sencilla de \(U+W\) para todos los valores de \(a\).

   Comenzamos calculando \(U+W\) puesto que conocemos sistemas de generadores de ambos subespacios. Usaremos coordenadas respecto de la base \(B_s\) habitual.

   Reunimos los dos sistemas de generadores y hacemos operaciones elementales por columnas:

   \[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & a & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 2 & 0\\ 1 & a & 0 & 0\\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 2 & 0\\ 1 & a-1 & -a & -1\\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 1 & 1 & a-1 & -a-1\\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & a-1 & -2a\\ \end{array}\right) \]

   Si \(a\not = 0\), \(\dim(U+W)=4\) y por tanto \(U+W=\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y la base más sencilla es \(B_s\).

   Si \(a=0\) la base más sencilla son las columnas no nulas de la forma de Hermite por columnas de la matriz anterior

   \[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1/2 & 0\\ \end{array}\right)\] \[\left\{ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1/2 \end{array}\right) \right\}. \]

2. Calcula unas ecuaciones cartesianas de \(U\cap W\) para todos los valores de \(a\).

   Para calcular la intersección utilizamos en primer lugar la fórmula de las dimensiones

   \[ \dim(U)+ \dim(W)=\dim(U+W)+\dim(U\cap W). \]

   Como \(\dim(U)+ \dim(W)=2+2=4\) (es inmediato de los datos), tenemos que para \(a\not = 0\) \(\dim(U\cap W)=0\) mientras que para \(a=0\) \(\dim(U\cap W)=1\).

   Por tanto para \(a\not = 0\) las ecuaciones cartesianas de \(U\cap W\) son \[\begin{equation} U\cap W \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=0,\\ y=0,\\ z=0,\\ t=0. \end{array}\right. \end{equation}\]

   Para \(a=0\) calculamos unas cartesianas de \(U\) y unas de \(W\) y las reunimos. Para ello comenzamos desde la base más sencilla de cada subespacio para escribir las paramétricas y deducir después las cartesianas. Para \(U\):

   \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right)\sim_c\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1/2 \\ \end{array}\right). \]

   Luego unas paramétricas son

   \[ U=\left\{ \begin{array}{l} x=\lambda_1,\\ y=0,\\ z=\lambda_2,\\ t=\lambda_1-\frac{1}{2}\lambda_2. \end{array}\right. \text{ Y así las cartesianas son } \left\{\begin{array}{l} y=0,\\ 2x-z-2t=0. \end{array}\right. \]

   Para \(W\):

   \[\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right). \]

   Luego unas paramétricas son

   \[ W=\left\{ \begin{array}{l} x=\lambda_1,\\ y=\lambda_2,\\ z=2\lambda_1+2\lambda_2,\\ t=0. \end{array}\right. \text{ Y así las cartesianas son } \left\{\begin{array}{l} 2x+2y-z=0,\\ t=0. \end{array}\right. \]

   Entonces

   \[ U\cap W=\left\{ \begin{array}{l} y=0,\\ 2x-z-2t=0,\\ 2x+2y-z=0,\\ t=0, \end{array}\right. \sim_f \left\{\begin{array}{l} y=0,\\ 2x-z=0.\\ t=0, \end{array}\right. \]

3. ¿Son \(U\) y \(W\) complementarios para \(a=1\)?

   Sí, de hecho para \(a\not = 0\), puesto que \(U+W=\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) y \(U\cap W=\{0\}\).

4. Calcula una base ortogonal de \(U\) para \(a=1\).

   Para calcular una base ortogonal calculemos en primer lugar una base de \(U\) para \(a=1\):

   \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right). \]

   Ahora usamos el algoritmo de Gram-Schmidt para calcular una base ortogonal a partir de estos dos vectores

   \[ u_1=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, u_2=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

   Luego

   \[e_1= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}+\lambda_{21}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

   Calculamos

   \[ \lambda_{21}=\frac{-\langle u_{2},e_{1}\rangle}{||e_{1}||^2}. \]

   Empezamos por el numerador: \[ \biggl\langle\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\biggr\rangle=\operatorname{traza}\left(\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)= \operatorname{traza}\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}=0. \]

   Luego \(e_2=u_2\) y la base de partida ya es ortogonal. También puede calcularse la matriz de Gram del producto escalar y usarla para hacer los productos utilizando coordenadas.

5. Calcula una base del subespacio ortogonal a \(W\) para \(a=1\).

   Para calcular las cartesianas del ortogonal de \(W\) partimos de una base de \(W\) (\(a=1\)):

   \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right)\sim_c \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 2 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \sim_c \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right), \]

   y para cada uno imponemos la condición de que una matriz genérica sea ortogonal:

   \[ \biggl\langle\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x & y\\ z & t \end{pmatrix}\biggr\rangle=\operatorname{traza}\left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x & z\\ y & t \end{pmatrix}\right)= \operatorname{traza}\begin{pmatrix} x & z\\ x & z \end{pmatrix}=x+z=0, \]

   \[ \biggl\langle\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x & y\\ z & t \end{pmatrix}\biggr\rangle=\operatorname{traza}\left(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x & z\\ y & t \end{pmatrix}\right)= \operatorname{traza}\begin{pmatrix} y & t\\ x & z \end{pmatrix}=y+z=0. \]

   Luego

   \[ W^{\perp}\equiv \left\{\begin{array}{l} x+z=0,\\ y+z=0. \end{array}\right. \]

6. Calcula la proyección ortogonal sobre \(W\) de la matriz \(A\).

   Calculamos unas cartesianas de \(W\) para \(a=1\) partiendo de la base más sencilla que ya tenemos del apartado anterior, primero poniendo las paramétricas:

   \[ W=\left\{ \begin{array}{l} x=\lambda_1,\\ y=\lambda_2,\\ z=\lambda_1+\lambda_2,\\ t=0. \end{array}\right. \text{ que nos dan las cartesianas } \left\{\begin{array}{l} x+y-z=0,\\ t=0. \end{array}\right. \]

   La matriz del enunciado cumple estas cartesianas, luego está en \(W\). Entonces,

   \[ p_W\left(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \]

   También puede emplearse cualquier otro método (descomponer en dos vectores uno de \(W\) y otro de \(W^{\perp}\), o usar coeficientes de Fourier).